calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS PROBLEMS ADICIONALES PLUS
; 10. Suponga que f es una función positiva tal que f es continua.
(a) ¿Cómo se relaciona la gráfica de y f x sen nx con la gráfica de y f x? ¿Qué sucede
cuando n l ?
(b) Haga una conjetura en cuanto al valor del límite
con respecto a las gráficas del integrando.
(c) Por medio de la integración por partes, confirme la suposición que hizo en el inciso (b).
[Use el hecho de que, puesto que f es continua, hay una constante M tal que
para 0 x 1.]
f x M
11. Si 0 a b, encuentre lím bx a1 x dx1t
t .
t l 0y 1
0
lím
n l y1 0
f x sen nx dx
; 12. Grafique f (x) sen(e x ) y use la gráfica para estimar el valor de t tal que f x dx es un
t
máximo. Después encuentre el valor exacto de t que maximiza esta integral.
x t1
y
y=| 2x |
0 x
FIGURA PARA EL PROBLEMA 13
13. El círculo con radio 1 mostrado en la figura toca la curva dos veces. Encuentre el
área de la región que yace entre las dos curvas.
14. Se prende un cohete en posición recta, quemando combustible con una proporción constante
de b kilogramos por segundo. Sea v vt la velocidad del cohete en el instante t y suponga
que la velocidad u del gas de salida es constante. Sea M Mt la masa del cohete en el instante
t y note que M disminuye cuando se quema el combustible. Si se ignora la resistencia del
aire, se deduce de la segunda ley de Newton que
F M dv
dt ub
donde la fuerza F Mt. Así,
1
M dv
dt
ub Mt
y 2x
Sea M 1 la masa del cohete sin combustible, M 2 la masa inicial del combustible y
M 0 M 1 M 2 . Por lo tanto, hasta que se agota el combustible en el tiempo t M 2b, la masa
es M M 0 bt.
(a) Sustituya M M 0 bt en la ecuación 1 y resuelva la ecuación resultante para v. Use la
condición inicial v0 0 para evaluar la constante.
(b) Determine la velocidad del cohete en el tiempo t M 2b. Ésta se llama velocidad de
combustible agotado.
(c) Determine la altura del cohete y yt y el tiempo en que se quema todo el
combustible.
(d) Encuentre la altura del cohete en cualquier tiempo t.
15. Use la integración por partes para mostrar que, para toda x 0,
0 y
f x 3
16. Suponga que f 1 f 1 0, f es continua en 0, 1 y para toda x. Demuestre
que
0
sen t
ln1 x t dt 2
ln1 x
y
f x dx 1
0
2
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