calculo-de-una-variable-1

96 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
y
5
FIGURA 15
2x
y=
x-3
0 x
_
3π
2
FIGURA 16
y=tan x
_π π
_
2
y
0
x=3
y
1
y=ln x
1
0
π
2
π
FIGURA 17
El eje y es una asíntota vertical
de la función logaritmo natural.
x
3π
2
x
2x 2x
EJEMPLO 9 Determine lím y lím .
x l3 x 3 x l3 x 3
SOLUCIÓN Si x está en la vecindad de 3, pero es mayor que 3, entonces el denominador
x 3 es un número positivo pequeño y 2x está cercano a 6. Así, el cociente 2xx 3
es un número positivo grande. En estos términos, ve intuitivamente que
De manera similar, si x está cerca de 3 pero es más pequeña que 3, entonces x 3 es un
número negativo pequeño, pero 2x es aún un número positivo, cercano a 6. De esa manera,
2xx 3 es en su magnitud un número negativo grande. Por esto,
La gráfica de la curva y 2xx 3 se ilustra en la figura 15. La recta x 3 es una
asíntota vertical.
EJEMPLO 10 Determine las asíntotas verticales de fx tan x.
SOLUCIÓN Puesto que
2x
lím
x l3 x 3
2x
lím
x l3 x 3
tan x sen x
cos x
hay asíntotas verticales potenciales donde cos x 0. En efecto, como cos x l 0 cuando
x l p2 y cos x l 0 cuando x l p2 , en vista de que sen x es positiva cuando x
está cerca de p2,
lím tan x y lím tan x
x l2 x lp2 Esto demuestra que la recta x p2 es una asíntota vertical. Un razonamiento similar
muestra que las rectas x 2n 1p2, donde n es un entero, son asíntotas verticales
de fx tan x. La gráfica de la figura 16 lo confirma.
Otro ejemplo de una función cuya gráfica tiene una asíntota vertical es la función logaritmo
natural y ln x. A partir de la figura 17
lím ln x
x l0
y de este modo la recta x 0 (el eje y) es una asíntota vertical. En efecto, lo mismo se
cumple para y log a x siempre que a 1. (Véase figuras 11 y 12 de la sección 1.6.)
2.2
EJERCICIOS
1. Explique con sus propias palabras qué se quiere dar a entender
mediante la ecuación
lím
x l 2 f x 5
¿Es posible que se cumpla esta proposición y todavía f2 3? Dé
una explicación.
2. Explique qué se quiere dar a entender con
lím f x 3
x l 1
En esta situación ¿es posible que lím xl 1 fx exista?
Dé una explicación.
y
lím f x 7
x l 1