calculo-de-una-variable-1

552 |||| CAPÍTULO 8 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
espaciados r 1 , r 2 , . . . El área aproximada del anillo (o arandela) con radio interno r i1 y radio
externo es
r i
Îr
2r i r
donde
r r i r i1
r i
(Véase figura 4.) Si r es pequeña, entonces la velocidad es casi constante en este anillo,
y se puede aproximar mediante vr i . Así, el volumen de sangre por unidad de tiempo que
fluye por el anillo es
FIGURA 4
2r i rvr i 2r i vr i r
y el volumen total de sangre que fluye por una sección transversal por unidad de tiempo es
n
2r i vr i r
i1
FIGURA 5
Esta aproximación se ilustra en la figura 5. Observe que la velocidad (y, por lo tanto, el volumen
por unidad de tiempo) se incrementa hacia el centro del vaso sanguíneo. La aproximación
es mejor cuando se incrementa n. Cuando se toma el límite se obtiene el valor
exacto del flujo (o descarga), que es el volumen de sangre que pasa una sección transversal
por unidad de tiempo:
F lím
n l
n
i1
2r i vr i r y R
2rvr dr
0
y R P
2r
0 4l R2 r 2 dr
P
2l yR 0
R 2 r r 3 dr
P
2l
R 2 r 2
2 r 4
rR
4r0
P
2l
R4
2 R4
4
PR 4
8l
La ecuación resultante
2
F
PR 4
8l
se llama ley de Poiseuille; ésta muestra que el flujo es proporcional a la cuarta potencia
del radio del vaso sanguíneo.
vena
arterias
pulmonares
aurícula
derecha
venas
pulmonares
vena
FIGURA 6
aorta
arterias
pulmonares
venas
pulmonares
aurícula
izquierda
RENDIMIENTO CARDIACO
En la figura 6 se muestra el sistema cardiovascular humano. La sangre retorna del cuerpo
por las venas, entra a la aurícula derecha del corazón y es bombeada a los pulmones por
las arterias pulmonares para oxigenación. Después regresa a la aurícula izquierda por las
venas pulmonares y sale hacia el resto del cuerpo por la aorta. El rendimiento cardiaco
del corazón es el volumen de sangre que bombea el corazón por unidad de tiempo, es decir,
el caudal hacia la aorta.
El método de dilución de colorante se emplea para medir el rendimiento cardiaco. Se inyecta
colorante hacia la aurícula derecha y fluye por el corazón hacia la aorta. Una sonda
insertada en la aorta mide la concentración del colorante que sale del corazón a tiempos
igualmente espaciados en un intervalo de tiempo [0, T] hasta que se ha eliminado el colorante.
Sea c(t) la concentración del colorante en el tiempo t. Si se divide [0, T] en subintervalos
de igual extensión t, entonces la cantidad de colorante que fluye más allá del punto
de medición durante el subintervalo de t t i1 a t t i es aproximadamente
concentraciónvolumen ct i F t