calculo-de-una-variable-1

342 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
EJEMPLO 2 Encuentre todas las funciones t tales que
tx 4 sen x 2x 5 sx
x
SOLUCIÓN Primero, escriba de nuevo la función dada en la forma siguiente:
tx 4 sen x 2x 5
x
sx
x 4 sen x 2x 4 1
sx
De esta manera, desea hallar una antiderivada de
tx 4 sen x 2x 4 x 12
Al usar las fórmulas de la tabla 2 con el teorema 1, obtiene
tx 4cos x 2 x 5
5 x12
1
2
4 cos x 2 5 x 5 2sx C
C
En las aplicaciones del cálculo es muy común tener una situación como la del ejemplo 2,
donde se requiere hallar una función, dado el conocimiento acerca de sus derivadas. Una
ecuación que comprende las derivadas de una función se llama ecuación diferencial. Éstas
se estudian con cierto detalle en el capítulo 9 pero, por el momento, es posible resolver algunas
ecuaciones diferenciales elementales. La solución general de una ecuación diferencial
contiene una constante arbitraria (o varias constantes arbitrarias), como en el ejemplo 2. Sin
embargo, pueden haber algunas condiciones adicionales que determinan las constantes y, por
lo tanto, especifican de manera única la solución.
& En la figura 2 se muestran las gráficas de la
función f del ejemplo 3 y de su antiderivada f .
Advierta que f x 0, de manera que f siempre
es creciente. Observe asimismo que, cuando
f tiene un máximo o un mínimo, f
parece que tiene un punto de inflexión. De modo
que la gráfica sirve como una comprobación de
dicho cálculo.
fª
40
_2 3
f
FIGURA 2
_25
EJEMPLO 3 Encuentre f si f x e x 201 x 2 1 y f 0 2.
SOLUCIÓN La antiderivada general de
es
Para determinar C, use el hecho de que f 0 2:
En estos términos, tiene C 2 1 3, de modo que la solución particular es
V EJEMPLO 4 Encuentre f si f x 12x 2 6x 4, f 0 4 y f 1 1.
SOLUCIÓN La antiderivada general de f x 12x 2 6x 4 es
Si usa una vez más las reglas de antiderivación encuentra que
f x 4 x 4
f x 12 x 3
f x e x 20 tan 1 x C
f 0 e 0 20 tan 1 0 C 2
3 6 x 2
2 4x C 4x 3 3x 2 4x C
4 3 x 3
3 4 x 2
f x e x 20
1 x 2
f x e x 20 tan 1 x 3
2 Cx D x 4 x 3 2x 2 Cx D