calculo-de-una-variable-1

232 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
(b) Una muestra de gas está en un recipiente a baja presión y
se le comprime paulatinamente a temperatura constante
durante 10 minutos. ¿El volumen disminuye con mayor
rapidez al principio o al final de los 10 minutos? Explique.
(c) Pruebe que la compresibilidad isotérmica (véase el
ejemplo 5) se expresa mediante .
22. Si en el ejemplo 4 se forma una molécula del producto C a
partir de una molécula del reactivo A y una molécula del
reactivo B y las concentraciones iniciales de A y B tienen un
valor común A B a molesL, después
C a 2 ktakt 1
donde k es una constante.
(a) Halle la velocidad de reacción en el instante t.
(b) Demuestre que si x C , en seguida
dx
dt
(c) ¿Qué sucede con la concentración cuando t l ?
(d) ¿Qué ocurre con la velocidad de reacción cuando ?
(e) ¿Qué significan en términos prácticos los resultados de los
incisos (c) y (d)?
23. En el ejemplo 6 consideró una población de bacterias que se
duplican cada hora. Considere que otra población de bacterias
se triplica cada hora y se inicia con 400 bacterias. Hallar una
expresión para el número n de bacterias después de t horas y
aplique para estimar la rapidez de crecimiento de la población
después de 2.5 horas
24. El número de células de levadura en un cultivo de laboratorio
se incrementa rapidamente al principio pero los niveles con el
tiempo terminan. La población se modela por la función
n ft
ka x2
1P
t l
a
1 be 0.7t
donde t se mide en horas. En el tiempo t 0 la población es de
20 células y se incrementa en una proporción de 12
células/hora. Hallar los valores de a y b. De acuerdo a este
modelo, ¿finalmente que sucede a la población de levadura?
; 25. La tabla proporciona la población del mundo en el siglo XX.
Población
Población
Año (en millones) Año (en millones)
1900 1650 1960 3040
1910 1750 1970 3710
1920 1860 1980 4450
1930 2070 1990 5280
1940 2300 2000 6080
1950 2560
(a) Estime la rapidez de crecimiento de la población en 1920 y
1980 promediando las pendientes de dos rectas secantes.
(b) Use un dispositivo graficador o una computadora para
encontrar una función cúbica (un polinomio de tercer grado)
que modele los datos.
(c) Aplique su modelo del inciso (b) para encontrar un modelo
para la rapidez de crecimiento de la población en el siglo XX.
(d) Use el inciso (c) para estimar las rapidez de crecimiento en
1920 y 1980. Compare sus estimados con los del inciso (a).
(e) Estime la rapidez de crecimiento en 1985.
; 26. La tabla muestra cómo varió la edad promedio en que las
mujeres japonesas contraen matrimonio por primera vez a lo
largo de la segunda mitad del siglo XX.
(a) Use una calculadora graficadora o una computadora para
modelar estos datos con un polinomio de cuarto grado.
(b) Recurra al inciso (a) para encontrar un modelo para At.
(c) Estime la razón de cambio de la edad en que contraen
matrimonio las mujeres durante la década de 1990.
(d) Dibuje los puntos correspondientes a datos así como los
modelos para A y A.
27. Remítase a la ley de flujo laminar que se da en el ejemplo 7.
Considere un vaso sanguíneo con radio 0.01 cm, longitud 3 cm,
diferencia de presión 3 000 dinascm 2 , y viscosidad .
(a) Halle la velocidad de la sangre a lo largo de la línea central
r 0, en el radio r 0.005 cm, y en la pared
r R 0.01 cm.
(b) Encuentre el gradiente de velocidad en r 0, r 0.005, y
r 0.01.
(c) ¿Adónde es máxima la velocidad? ¿Adónde cambia en
mayor medida?
28.
t
At
1950 23.0 1980 25.2
1955 23.8 1985 25.5
1960 24.4 1990 25.9
1965 24.5 1995 26.3
1970 24.2 2000 27.0
1975 24.7
La frecuencia de las vibraciones de una cuerda vibrante de un
violín se expresa por medio de
f 1
2L
T
donde L es la longitud de la cuerda, T es su tensión y r es su
densidad lineal. Véase el capítulo 11 en D. E. Hall, Musical
Acoustics, 3a. ed. (Pacific Grove, CA: BrooksCole, 2002).
(a) Encuentre la rapidez de cambio de la frecuencia con
respecto a
(i) La longitud (cuando T y son constantes).
(ii) La tensión (cuando L y son constantes).
(iii) La densidad lineal (cuando L y T son constantes).
(b) El tono de una nota (qué tan alto o bajo suena) está determinado
por la frecuencia f(entre más alta es la frecuencia más
alto es el tono). Use los signos de las derivadas del inciso (a)
para hallar qué sucede en el tono de una nota
(i) cuando se disminuye la longitud efectiva de una cuerda
colocando un dedo sobre ésta de modo que vibre una
parte más corta de la misma,
(ii) cuando se aumenta la tensión haciendo girar una de las
clavijas,
(iii) cuando se incrementa la densidad lineal al cambiar
hacia otra cuerda,
t
At
0.027