calculo-de-una-variable-1

APÉNDICE E NOTACIÓN SIGMA |||| A35
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TEOREMA
Si c es cualquier constante (es decir, no depende de i), entonces
(a)
(c)
n
ca i c n
a i
im
im
n
a i b i n
a i n
b i
im
im im
(b)
n
a i b i n
a i n
b i
im
im im
PRUEBA Para ver por qué son verdaderas estas reglas, todo lo que debe hacer es escribir
ambos lados en forma expandida. La regla (a) es simplemente la propiedad distributiva
de los números reales:
ca m ca m1 ca n ca m a m1 a n
La regla (b) se sigue de las propiedades asociativa y conmutativa:
a m b m a m1 b m1 a n b n
a m a m1 a n b m b m1 b n
La regla (c) se demuestra de un modo semejante.
EJEMPLO 3 Encuentre
SOLUCIÓN
n
1.
i1
n
1 1 1 1 n
i1
términos n
EJEMPLO 4 Demuestre la fórmula para la suma de los primeros n enteros positivos:
n
nn 1
i 1 2 3 n
i1
2
SOLUCIÓN Esta fórmula se puede demostrar por inducción matemática (véase la página 77)
o por el siguiente método empleado por el matemático alemán Karl Friedrich Gauss
(17771855) cuando tenía sólo 10 años de edad.
Escriba dos veces la suma S, una vez en el orden usual y otra en orden inverso:
S 1 2 3 n 1 n
S n n 1 n 2 2 1
Si se suman verticalmente todas las columnas, obtiene
2S n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
En el lado derecho hay n términos, cada uno de los cuales es n 1, y por lo tanto
2S nn 1
o
S
nn 1
2
EJEMPLO 5 Demuestre la fórmula para la suma de los cuadrados de los primeros n enteros
positivos:
n
nn 12n 1
i 2 1 2 2 2 3 2 n 2
i1
6