calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 8.3 APLICACIONES A LA FÍSICA Y A LA INGENIERÍA |||| 543
m£
y£
‹
y
⁄
m¡
›
0 fi x
m
¤
Ahora considere un sistema de n partículas con masas m 1 , m 2 , ..., m n localizadas en los
puntos x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ,..., x n , y n en el plano xy como se muestra en la figura 8. Por
analogía con el caso unidimensional, se define el momento del sistema respecto al eje y
como
5
M y n
i1
m i x i
FIGURA 8
y el momento del sistema respecto al eje x como
6
M x n
i1
m i y i
Después M y mide la tendencia del sistema a girar respecto al eje y y M x mide la tendencia
a girar respecto al eje x.
Como en el caso unidimensional, las coordenadas x, y del centro de masa están dadas
en términos de los momentos por las fórmulas
7
x M y
m
y M x
m
donde m m i es la masa total. Puesto que mx M y y my M x , el centro de masa
x, y es el punto donde una sola partícula de masa m tendría los mismos momentos que
el sistema.
V EJEMPLO 3 Encuentre los momentos del centro de masa del sistema de objetos que
tienen masas 3, 4 y 8 en los puntos 1, 1, 2, 1, y 3, 2, respectivamente.
SOLUCIÓN Se usan las ecuaciones 5 y 6 para calcular los momentos:
M y 31 42 83 29
3
y
centro de masa
8
M x 31 41 82 15
Puesto que m 3 4 8 15, se usan las ecuaciones 7 para obtener
0 4 x
x M y
m 29
15
y M x
m 15
15 1
FIGURA 9
Así, el centro de masa es . (Véase figura 9.)
(1 14
15, 1)
A continuación se considera una placa plana (llamada lámina) con densidad uniforme r
que ocupa una región del plano. Se desea localizar el centro de masa de la placa, que se
llama centroide de . Para tal fin se emplean los siguientes principios: el principio de simetría
dice que si es simétrica respecto a la recta l, en tal caso el centroide de yace
sobre l. (Si se refleja respecto a l, entonces no cambia y su centroide permanece fijo.
Pero los únicos puntos fijos yacen sobre l). Así, el centroide del rectángulo es su centro. Los
momentos se deben definir de modo que si toda la masa de una región se concentra en el
centro de masa, después sus momentos permanecen sin cambio. Asimismo, el momento de
la unión de dos regiones que no se traslapan, debe ser la suma de los momentos de cada una
de las regiones.