calculo-de-una-variable-1

720 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
1 n arctan n
15. 16.
17. 1 n
18.
ln n
20.
22.
23. 24.
25.
26.
27.
28.
29.
Los términos de una serie se definen en forma recursiva mediante
las ecuaciones
a 1 2
Determine si a n es convergente o divergente.
30. Una serie a n está definida de acuerdo con las ecuaciones
31.
n1
n2
1 1 3
3!
a 1 1
Determine si a n converge o diverge.
¿Para cuáles de las series siguientes la prueba de la razón
no es concluyente (es decir, no proporciona una respuesta
definida)?
(a)
(c)
n1
1
n 3
n 2
cosn3
19.
n1 n!
n1 n2 1
21.
n
2n 2 1
n11
n
1
n 2
3 n1
n1 sn
1 3 5
5!
2 4 6 2n
n1 n!
1 3 5 7
7!
2 n n!
1 n
n1 5 8 11 3n 2
a n1 2 cos n
sn
32. ¿Para cuáles enteros positivos k la serie siguiente es convergente?
n1
33. (a) Demuestre que n0 x n n! converge para toda x.
(b) Deduzca que lím n l x n n! 0 para toda x.
34. Sea a n una serie con términos positivos y sea r n a n1a n . Suponga
que lím n l r n L 1, de modo que a n es convergente
(b)
(d)
n! 2
kn!
n1
n1
3 cos n
n1 n 23 2
n!
n1 n n
2 n
n1 n n
n2 2n
n2
n1
1 3 5 2n 1
1
2n 1!
2
5 2 6
5 8 2 6 10 2 6 10 14
5 8 11 5 8 11 14
a n1 5n 1
4n 3 an
n
2 n
sn
1 n 2
5n
n 1
n
ln n n
a n
según la prueba de la razón. Como es lo usual, R n sea el residuo
después de n términos, es decir,
R n a n1 a n2 a n3
(a) Si r n es una sucesión decreciente y r n1 1, demuestre
con la suma de una serie geométrica que
(b) Si r n es una sucesión creciente, demuestre que
35. (a) Calcule la suma parcial s 5 de la serie n1 1n2 n . Con ayuda
del ejercicio 34 estime el error al usar s 5 como una
aproximación a la suma de la serie.
(b) Determine un valor de n de tal modo que s n no difiera
0.00005 de la suma real. Use este valor de n para obtener
un valor aproximado de la suma de la serie.
36. Use la suma de los primeros 10 términos para obtener un valor
aproximado de la suma de la serie
Aplique el ejercicio 34 para estimar el error.
37. Demuestre la prueba de la raíz. [Sugerencia para la
parte (i): tome cualquier número r tal que L r 1 y
aplique el hecho de que hay un entero N tal que
cuando n N.]
38. Hacia 1910, Srinivasa Ramanujan, matemático de la India, descubrió
la fórmula
1
p 2s2 4n!1103 26390n
9801
n0 n! 4 396 4n
William Gosper utilizó esta serie en 1985 para calcular los primeros
17 millones de dígitos de p.
(a) Verifique que la serie sea convergente.
(b) ¿Cuántos lugares decimales correctos de p obtiene el lector
si usa sólo el primer término de la serie? ¿Qué pasa si usa
dos términos?
39. Dada cualquier serie a n define una serie a n si todos sus términos
son positivos de a n y una serie a n si todos sus términos
son negativos de a n. Para ser específicos,
a n an a n
2
R n
1 r n1
R n
1 L
n1
an1
an1
a n an a n
2
s n an r
Observe que si a n 0, por lo tanto a y a n a n n 0, siempre
que a n 0, después a n a n y a n 0.
(a) Si a n es absolutamente convergente, demuestre que tanto
la serie a n como la a n son convergentes.
(b) Si a n es condicionalmente convergente, demuestre que
tanto la serie a n como la a n son divergentes.
40. Demuestre que si a n es una serie condicionalmente convergente
y r es cualquier número real, en este caso hay un
reordenamiento de a n cuya suma es r. [Sugerencias: utilice la
notación del ejercicio 39. Tome sólo suficientes términos positivos
a
n de modo que su suma sea mayor que r. Luego sume sólo
suficientes términos negativos a
n para que la suma acumulativa
sea menor que r. Continúe así y aplique el teorema 11.2.6.]
n
2 n