calculo-de-una-variable-1

300 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
y
0
y
0
FIGURA 1
a
a
f
y=m¡(x-a)
y=m(x-a)
& En la figura 1 se sugiere en forma visual
por qué la regla de l’Hospital podría ser
verdadera. En la primera gráfica se muestran
dos funciones derivables f y t, cada una de las
cuales tiende a 0 cuando x l a. Con un acercamiento
hacia el punto a, 0, las
gráficas empezarán a verse casi lineales. Pero si
las funciones fueran en realidad lineales,
como en la segunda gráfica, después su
gráfica sería
m 1x a
m 2x a m1
m 2
lo cual es la proporción entre sus derivadas.
Esto sugiere que
lím
x l a
g
fx
tx lím
x l a
fx
tx
| Advierta que cuando se usa la regla de
l’Hospital, deriva el numerador y el denominador
por separado. No utiliza la regla del cociente.
x
x
NOTA 1 La regla de l’Hospital afirma que el límite de un cociente de funciones es igual
al límite del cociente de sus derivadas, siempre que se satisfagan las condiciones dadas.
Antes de aplicar la regla de l’Hospital es muy importante comprobar las condiciones referentes
a los límites de f y t.
NOTA 2 La regla de l’Hospital también es válida para los límites laterales y los límites
en el infinito o en el infinito negativo; es decir, “ x l a” se puede reemplazar con cualquiera
de los símbolos siguientes x l a , x l a , x l o x l .
NOTA 3 Para el caso especial en que fa ta 0, f y t son continuas y ta 0,
es fácil ver por qué la regla de l’Hospital es verdadera. En efecto, si se aplica la forma
alternativa de la definición de derivada, tiene
Es más difícil demostrar la versión general de la regla de l’Hospital. Véase el apéndice
F.
ln x
V EJEMPLO 1 Encuentre lím .
x l1 x 1
SOLUCIÓN Puesto que
puede aplicar la regla de l’Hospital:
lím
x l1
lím
x l a
f x
tx f a lím
ta x l a
lím
x l a
lím ln x ln 1 0
x l1
ln x
x 1 lím
x l1
lím
x l a
f x f a
tx ta
f x f a
x a
tx ta
x a
lím
x l a
y
d
ln x
dx
lím
d
dx x 1
1
x l1
1x
f x
tx
lím
x l a
lím x 1 0
x l1
1
lím
x l1 x 1
f x f a
x a
tx ta
x a
& En la figura 2 se muestra la gráfica de la
función del ejemplo 2. Con anterioridad ha
visto ver que, con mucho, las funciones exponenciales
crecen con más rapidez que las
potencias, de modo que el resultado del
ejemplo 2 no es inesperado. Véase también
el ejercicio 69.
20
y=´
≈
e x
x l x 2
EJEMPLO 2 Calcule lím .
SOLUCIÓN Tiene que lím y lím x l x 2 x l e x
, de modo que la regla de l’Hospital
da
e x
lím
x l x lím
2 x l
d
dx e x
lím
d
dx x x l
2
Puesto que e x l y 2x l cuando x l , el límite del segundo miembro también es
indeterminado, pero una segunda aplicación de la regla de l’Hospital da
e x
2x
0
FIGURA 2
10
e x
lím
x l x lím
2 x l
e x
2x lím e x
x l 2