calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.1 CURVAS DEFINIDAS POR ECUACIONES PARAMÉTRICAS |||| 629
(b) Use la descripción geométrica de la curva para trazar manualmente
un bosquejo burdo de la curva. Compruebe su
trabajo con el uso de las ecuaciones paramétricas para graficar
la curva.
y
O
; 45. Suponga que la posición de una partícula en el tiempo t está
dada por
x 1 3 sen t
y la posición de una segunda partícula está dada por
x 2 3 cos t
P
a
y 1 2 cos t
y 2 1 sen t
0 t 2
0 t 2
(a) Grafique las trayectorias de ambas partículas. ¿Cuántos
puntos de intersección hay?
(b) ¿Algunos de estos puntos de intersección son puntos de colisión?
En otras palabras, ¿están las partículas alguna vez
en el mismo lugar al mismo tiempo? Si es así, determine
los puntos de colisión.
(c) Describa lo que sucede si la trayectoria de la segunda
partícula está dada por
x 2 3 cos t y 2 1 sen t 0 t 2
46. Si un proyectil es lanzado con una velocidad inicial de v 0 metros
por segundo a un ángulo a arriba de la horizontal y se supone
A
B
x=2a
x
que la resistencia del aire es insignificante, en tal caso su posición
después de t segundos está dada por las ecuaciones
paramétricas
x v 0 cos t
y v 0 sen t 1 2 tt 2
donde t es la aceleración debida a la gravedad 9.8 m/s 2 .
(a) Si se dispara una pistola con a 30º y v 0 500 m/s,
¿cuándo la bala colisionará con el suelo? ¿A qué distancia de
la pistola chocará con el suelo? ¿Cuál es la altura máxima
que alcanza la bala?
; (b) Use un dispositivo de graficación para comprobar sus respuestas
para el inciso a. Después grafique la trayectoria del
proyectil para otros valores del ángulo a con la finalidad
de ver dónde choca con el suelo. Resuma sus hallazgos.
(c) Muestre que la trayectoria es parabólica mediante la eliminación
del parámetro.
; 47. Investigue la familia de curvas definida por las ecuaciones paramétricas
x t 2 , y t 3 ct. ¿Cómo cambia la forma cuando
se incrementa c? Ilustre graficando varios miembros de la
familia.
; 48. Las curvas de catástrofe cola de golondrina se definen
mediante las ecuaciones paramétricas x 2ct 4t 3 ,
y ct 2 3t 4 . Grafique varias de estas curvas. ¿Qué
características tienen en común estas curvas? ¿Cómo
cambian cuando se incrementa c?
; 49. Las curvas con ecuaciones x a sen nt, y b cos t se llaman
figuras de Lissajous. Investigue cómo varían estas curvas
cuando varían a, b y n. Tome a n como un entero positivo.
; 50. Investigue la familia de curvas definida por las ecuaciones paramétricas.
Empiece por hacer que c sea un entero positivo y
ver lo que ocurre a la forma cuando c aumenta. Luego explore
algunas de las posibilidades que se presentan cuando c es una
fracción.
PROYECTO DE
LABORATORIO
a
y
O
C
¨
b
P
(a, 0)
A x
;
CÍRCULOS QUE CORREN ALREDEDOR DE CÍRCULOS
En este proyecto se investigan familias de curvas, llamadas hipocicloides y epicicloides, que
se generan por el movimiento de un punto sobre un círculo que rueda dentro o fuera de otro
círculo.
1. Una hipocicloide es una curva trazada por un punto fijo P sobre un círculo C de radio b
cuando C rueda en el interior de un círculo con centro O y radio a. Muestre que si la posición
inicial de P es (a, 0) y el parámetro u se elige como en la figura, entonces las ecuaciones
paramétricas de la hipocicloide son
x a b cos b cos a b
b
y a b sen b sen a b
b
2. Use un dispositivo de graficación o la gráfica interactiva del Module TEC 10.1B para dibujar
las gráficas de hipocicloides con a un entero positivo y b 1. ¿Cómo afecta el valor de
a a la gráfica? Muestre que si se toma a 4, entonces las ecuaciones paramétricas de la
hipocicloide se reducen a
TEC Examine Module 10.1B para ver cómo se
forman las hipocicloides y epicicloides mediante
el movimiento de círculos rodantes.
x 4 cos 3
y 4 sen 3
Esta curva se llama hipocicloide de cuatro vértices o astroide.