calculo-de-una-variable-1

490 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
& La tabla de integrales aparece en
las páginas de referencia al final del libro.
En la sección de la tabla de integrales titulada Formas tigonométricas inversas se localiza
la fórmula 92:
y u tan 1 u du u 2 1
2
tan 1 u u 2 C
Así, el volumen es
V 2 y 1
0
x tan 1 x dx 2 x 2 1
2
x 2 1 tan 1 x x 0 1 2 tan 1 1 1
1
tan 1 x x 20
24 1 1 2
2
x
EJEMPLO 2 Use la tabla de integrales para hallar y
2
V .
s5 4x dx 2
SOLUCIÓN Si se ve la sección de la tabla titulada Formas relacionadas con sa 2 u 2 , se ve
que el elemento más parecido es el número 34:
Esto no es exactamente lo que se tiene, pero se podrá usar esto si primero se hace la sustitución
u 2x:
Luego se emplea la fórmula 34 con a 2 5 (de modo que a s5):
y
y
y
x 2
s5 4x 2 dx y
x 2
s5 4x 2 dx 1 8 y
u 2
sa 2 u 2 du u 2 sa 2 u 2 a 2
u2 2
s5 u 2 du 2 1 8 y
2 sen1 u a C
u 2
s5 u 2 du
u 2
s5 u 2 du 1 8
u 2 s5 u 2 5 2 sen1
u
C
s5
x 8 s5 4x 2 5
16
2x
sen1 C
s5
EJEMPLO 3 Emplee la tabla de integrales para determinar y x 3 sen x dx.
SOLUCIÓN Si se estudia la sección llamada Formas trigonométricas, se ve que ninguno de
los elementos incluye de manera explícita un factor u 3 Sin embargo, se puede usar la
fórmula de reducción del elemento 84 con n 3:
y x 3 sen x dx x 3 cos x 3 y x 2 cos x dx
85. y u n cos u du
u n sen u n y u n1 sen u du
Ahora se necesita evaluar x x 2 cos x dx. Se puede usar la fórmula de reducción número
85 con n 2, seguida de la integral 82:
y x 2 cos x dx x 2 sen x 2 y x sen x dx
x 2 sen x 2sen x x cos x K