calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA |||| 209
(b) En el punto (3, 4), se tiene x 3 y y 4, de modo que
dy
dx 3 4
Por lo tanto, una ecuación de la tangente a la circunferencia en (3, 4) es
y 4 3 4x 3
o bien
3x 4y 25
SOLUCIÓN 2
(b) Al resolver la ecuación x 2 y 2 25, obtiene y s25 x 2 . El punto (3, 4)
se encuentra en la semicircunferencia superior y s25 x 2 y, por consiguiente,
considere la función f x s25 x 2 . Si al aplicar la regla de la cadena a la función f,
se tiene
f x 1 2 25 x 2 d 12 dx 25 x 2
1 x
2 25 x 2 12 2x
s25 x 2
& En el ejemplo 1 se ilustra que incluso
cuando es posible resolver una ecuación
explicita para y en términos de x puede ser
más fácil aplicar la derivación implicita
3
De modo que f 3
s25 3 3 2 4
y, como en la solución 1, la ecuación de la tangente es 3x 4y 25.
NOTA 1 La expresión dydx xy en la solución 1 da la derivada en términos tanto
de x como de y. Esto es correcto sin importar cuál función y queda determinada por la
ecuación dada. Por ejemplo, para y f x s25 x 2
en tanto que, para y tx s25 x 2
dy
dx x y x
s25 x 2
dy
dx x y x
s25 x 2
x
s25 x 2
V EJEMPLO 2
(a) Encuentre y si x 3 y 3 6xy.
(b) Halle la tangente al folio de Descartes x 3 y 3 6xy, en el punto (3, 3).
(c) ¿En cuáles puntos de la curva se tiene que la recta tangente es horizontal o vertical?
SOLUCIÓN
(a) Si se derivan ambos miembros de x 3 y 3 6xy con respecto a x, considerando
y como función de x, y usando la regla de la cadena en el término y 3 y la regla del
producto en el término 6xy, obtiene
3x 2 3y 2 y 6xy 6y
o bien x 2 y 2 y 2xy 2y