calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 4.2 TEOREMA DEL VALOR MEDIO |||| 283
y
A
FIGURA 5
ƒ
h(x)
y=ƒ
0 x
x
f(b)-f(a)
f(a)+ (x-a)
b-a
LAGRANGE Y EL TEOREMA DE VALOR MEDIO
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) formuló por
primera vez el teorema del valor medio. Nacido
en Italia, de padre francés y de madre italiana.
Fue un niño prodigio y se convirtió en profesor en
Turín, a la temprana edad de 19 años. Lagrange
hizo grandes colaboraciones a la teoría de
números, la teoría de funciones, la teoría
de ecuaciones y la mecánica analítica y celeste.
En particular, aplicó el cálculo al análisis de la
estabilidad del sistema solar. Por invitación de
Federico el Grande, se convirtió en el sucesor
de Euler en la Academia de Berlín; al morir su
mecenas aceptó la invitación del rey Luis XVI
para trasladarse a París, donde se le dieron
apartamentos en el Louvre. A pesar de todas
las tentaciones del lujo y la fama, fue un hombre
bondadoso y tranquilo, aunque sólo vivió
para la ciencia.
B
De tal manera, como se muestra en la figura 5,
4
Primero hay que comprobar que h cumple con las tres hipótesis del teorema de Rolle.
1. La función h es continua en a, b porque es la suma de f y de un polinomio de primer
grado, y ambos son continuos.
2. La función h es derivable en a, b porque tanto f como el polinomio de primer grado
son derivables. En efecto, es posible calcular h directamente con la ecuación 4:
3.
(Observe que f a y f b f ab a son constantes.)
ha f a f a
hb f b f a
Por lo tanto, ha hb.
hx f x f a
hx f x
f b f a f b f a 0
Como h cumple con las hipótesis del teorema de Rolle, ese teorema establece que hay
un número c en a, b tal que hc 0. Por lo tanto,
0 hc f c
f b f a
b a
f b f a
b a
f b f a
b a
f b f a
b a
b a
f b f a
b a
x a
a a 0
y de esa manera
f c
f b f a
b a
V EJEMPLO 3 Para ilustrar el teorema del valor medio con una función específica, considere
f x x 3 x, a 0, b 2. Puesto que f es un polinomio, es continuo y derivable
para toda x, por lo que es ciertamente continuo en 0, 2 y derivable en 0, 2. Por lo tanto,
de acuerdo con el teorema del valor medio, hay un número c en 0, 2 tal que
y
y=˛- x
B
f 2 f 0 f c2 0
Ahora, f 2 6, f 0 0 y f x 3x 2 1, de modo que esta ecuación se vuelve
O
FIGURA 6
c 2
x
6 3c 2 12 6c 2 2
lo cual da c 2 4 3, es decir, c 2s3. Pero c debe estar en 0, 2, de modo que
c 2s3. En la figura 6 se ilustra este cálculo: la tangente en este valor de c es paralela
a la secante OB.
V EJEMPLO 4 Si un objeto se mueve en una línea recta con función de posición s ft,
entonces la velocidad promedio entre t a y t b es
f b f a
b a