calculo-de-una-variable-1

236 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
relativa es constante. (Ya que dm/dt es negativo, la rapidez de desintegración relativa es pósitiva.)
Lo que permite que
dm
dt
km
donde k es una constante negativa. En otras palabras, las sustancias radiactivas decaen en
una cantidad proporcional a la masa restante. Esto significa que puede usar (2) para demostrar
que la masa decae de manera exponencial:
mt m 0 e kt
Los fisicos expresan la relación de decaimiento en términos del tiempo de vida media,
el tiempo que se requiere para que la mitad de cualquier cantidad conocida se desintegre.
V EJEMPLO 2 El tiempo de vida media del radio-226 es 1 590 años.
(a) Una muestra de radio-226 tiene una masa de 100 mg. Hallar una formula para la masa
de la muestra que permanece después de t años.
(b) Hallar la masa después de 100 años exacto a lo más cercano de los miligramos.
(c) ¿Cuándo se ha reducido la masa a 30 mg?
SOLUCIÓN
(a) Sea m(t) la masa de radio-226 (en miligramos) que permanece después de t años.
Entonces dm/dt km y y(0) 100, de tal manera que (2) proporciona
mt m0e kt 100e kt
Con la finalidad de establecer el valor de k, aplique el hecho de de que y(1 590) 1 100 2 .
En estos términos,
100e 1590k 50 o e 1590k 1 2
y
En consecuencia
1 590k ln 1 2 ln 2
k ln 2
1590
ln 2t/1590
mt 100e
Podría aplicar el hecho de que e ln 2 2 y escribir la expresión para m(t) de forma alterna
mt 100 2 t/1590
(b) La masa después de 1000 años es
m1000 100e ln 21000/1590 65 mg
(c) Busque el valor de t tal que m(t) 30, es decir,
100e ln 2t/1590 30 o bien e ln 2t/1590 0.3
Resuelva esta ecuación para t tomando el logaritmo natural de ambos lados:
Por esto
ln 2 t ln 0.3
1590
t 1590
ln 0.3
ln 2
2762 años