calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA |||| 371
Ahora un método mucho más sencillo para evaluar la integral del ejemplo 2.
& Como f x e x es positiva, la integral del
ejemplo 3 representa el área que se muestra
en la figura 8.
y
EJEMPLO 3
(a) Plantee una expresión para x 3 e x dx como un límite de sumas.
1
(b) Use un sistema algebraico por computadora para evaluar la expresión.
SOLUCIÓN
(a) En este caso, tiene f x e x , a 1, b 3, y
10
y=´
x b a
n
2 n
De modo que x 0 1, x 1 1 2n, x 2 1 4n, x 3 1 6n, y
x i 1 2i
n
0 1 3
x
A partir del teorema 4, obtiene
FIGURA 8
y 3
e x dx lím
1
n l
n
f x i x
i1
lím
n l
n
f1 2i
i1
2
lím
n l n n e 12in
i1
n 2 n
(b) Si le pide a un sistema algebraico para computadora que evalúe la suma y simplifique,
obtiene
& Un sistema algebraico por computadora es
capaz de hallar una expresión explícita para
esta suma porque es una serie geométrica.
El límite podría encontrarse usando la regla
de l’Hospital.
n
e 12in e 3n2n e n2n
i1
e 2n 1
Ahora le pide al sistema algebraico por computadora que evalúe el límite:
y 3
2
e x dx lím
1
n l n e 3n2n e n2n
e 3 e
e 2n 1
En la siguiente sección se estudia un método más sencillo para la evolución de
integrales.
V
EJEMPLO 4 Evalúe las integrales siguientes interpretando cada una en términos de áreas.
(a)
y 1
0 s1 x 2 dx
(b)
y 3
x 1 dx
0
y
1
y= œ„„„„„ 1-≈
o
≈+¥=1
SOLUCIÓN
(a) Dado que f x s1 x 2 0, puede interpretar esta integral como el área debajo
de la curva y s1 x 2 desde 0 hasta 1. Pero, como y 2 1 x 2 , obtiene x 2 y 2 1,
lo cual muestra que la gráfica de f es el cuarto de circunferencia, con radio de 1, que
aparece en la figura 9. Por lo tanto,
0
FIGURA 9
1
x
y 1
0 s1 x 2 dx 1 4 1 2
(En la sección 7.3 usted será capaz de demostrar que el área de un círculo con radio r
es pr 2 .)
4