calculo-de-una-variable-1

706 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
V EJEMPLO 1 Determine si la serie
n1
es convergente o divergente.
SOLUCIÓN En el caso de n grandes el término dominante en el denominador es 2n 2 de modo
que compare la serie dada con la serie 52n 2 . Observe que
5
2n 2 4n 3 5
2n 2
porque el lado izquierdo tiene un denominador más grande. (En la notación de la prueba
por comparación, a n está en el lado izquierdo y b n en el lado derecho). Ya sabe que
n1
es convergente porque es una constante por una serie p con p 2 1. Por lo tanto,
n1
5
2n 2 4n 3
5
2n 2
5 1
2
n1 n 2
5
2n 2 4n 3
es convergente de acuerdo con el inciso (i) de la prueba por comparación.
NOTA 1 La condición a n b n o bien, a n b n de la prueba por comparación es para
toda n, es necesario comprobar sólo que se cumple para n N, donde N es un entero
establecido, porque la convergencia de una serie no está afectada por un número finito de
términos. Lo anterior se ilustra con el ejemplo siguiente.
V
EJEMPLO 2 Pruebe si la serie
ln n
n1 n
es convergente o divergente.
SOLUCIÓN Esta serie se probó (usando la prueba de la integral) en el ejemplo 4 de la
sección 11.3, pero también es posible probarla por comparación con la serie armónica.
Observe que ln n 1 para n 3 y de esa manera
ln n
n
1 n
n 3
Ya sabe que 1n es divergente (serie p con p 1). De esta manera la, serie dada es
divergente de acuerdo con la prueba por comparación.
NOTA 2 Los términos de la serie que se está probando deben ser menores que los de una
serie convergente, o mayores que los de una serie divergente. Si los términos son más grandes
que los términos de una serie convergente, o bien, menores que los de una serie divergente,
en tal caso la prueba por comparación no se aplica. Por ejemplo, considere la serie
La desigualdad
n1
1
2 n 1
1
2 n 1 1 2 n
es inútil en cuanto a la prueba por comparación porque
es convergente y
a n b n . Sin embargo, la impresión es que 12 n 1 tiene que ser convergente porque
es muy parecida a la serie geométrica convergente . En tal caso se puede aplicar la
prueba siguiente.
( 1 2) n b n ( 1 2) n