calculo-de-una-variable-1

442 |||| CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
termina de salirse justo cuando el cubo llega a los 12 metros
de altura. ¿Cuánto trabajo se realizó?
18. Una cadena de 10 pies de largo pesa 25 lb y cuelga de un
techo. Calcule el trabajo hecho al subir el extremo inferior
de la cadena al techo de modo que esté al mismo nivel que el
extremo superior.
19. Un acuario que mide 2 m de largo, 1 m de ancho y 1 m de
profundidad está lleno con agua. Determine el trabajo que se
requiere para extraer por bombeo la mitad del agua de dicho
acuario. (Recuerde que la densidad del agua es de 1 000 kgm 3 .)
20. Una piscina circular tiene un diámetro de 24 pies, los lados
miden 5 pies de altura y la profundidad del agua es de 4 pies.
¿Cuánto trabajo se requiere para extraer por bombeo toda el
agua por uno de los lados? (Recuerde que el peso del agua es
de 62.5 lbpie 3 .)
21–24 Un tanque está lleno con agua. Determine el trabajo necesario
para que, mediante bombeo, el agua salga por el tubo de descarga. En
3
los ejercicios 23 y 24 recuerde que el peso del agua es de 62.5 lbpie .
21. 22.
3 m
2 m
3 m
8 m
23. 6 pies 24.
12 pies
6 pies
8 pies
3 pies
trono de un cono
; 25. Suponga que en el caso del depósito del ejercicio 21, la bomba
se descompone después de que se ha realizado un trabajo de
4.7 10 5 J. ¿Cuál es la profundidad del agua que queda en el
depósito?
10 pies
1 m
3 m
26. Resuelva el ejercicio 22 suponiendo que el tanque está lleno a
la mitad de aceite con densidad de 920 kg/m 3 .
27. Cuando el gas se expande en un cilindro de radio r, la presión
en cualquier tiempo dado es una función del volumen:
P PV. La fuerza que ejerce el gas en el émbolo (véase la
figura) es el producto de la presión por el área: F r 2 P.
Demuestre que el trabajo que realiza el gas cuando el volumen
se expande desde el volumen V 1 al volumen es
cabeza de pistón
28. En un motor de vapor, la presión P y el volumen V del
vapor cumple con la ecuación PV 1.4 k, donde k es una
constante. (Esto es válido en el caso de la expansión adiabática,
es decir, la expansión en la cual no hay transferencia de
calor entre el cilindro y sus alrededores.) Refiérase al
ejercicio 27 para calcular el trabajo realizado por el motor
durante un ciclo cuando el vapor inicia a una presión de
2
3
160 lbpulg y un volumen de 100 pulg y se expande a
un volumen de 800 pulg .
29. La ley de Newton de la gravitación establece que dos cuerpos
con masas y se atraen entre sí con una fuerza
3
m 1 m 2
W y V2
PdV
V1
F G m1m2
r 2
donde r es la distancia entre los cuerpos y G es la constante
gravitacional. Si uno de los cuerpos está fijo, determine el
trabajo necesario para llevar al otro desde r a hasta r b.
30. Mediante la ley de Newton de la gravitación, calcule el trabajo
que se requiere para lanzar un satélite de 1 000 kg en dirección
vertical hasta una órbita a 1 000 km de altura. Puede suponer
que la masa de la Tierra es de 5.98 10 24 kg y está concentrada
en el centro. Tome el radio de la Tierra como 6.37 10 6 m y
G 6.67 10 11 Nm 2 kg 2 .
x
V 2
6.5
VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN
T
15
10
5
6
T prom
0 12 18 24 t
FIGURA 1
Es fácil calcular el valor promedio de una cantidad finita de números y 1 , y 2 …, y n :
y prom y 1 y 2 y n
n
Pero ¿de qué manera calcular la temperatura promedio durante un día, si hay una cantidad
infinita de lecturas de temperatura? En la figura 1 se ilustra la gráfica de una función de
temperatura Tt, donde t se mide en horas y T en °C, y una conjetura a la temperatura promedio,
T prom .
En general, trate de calcular el valor promedio de una función y f x, a x b.
Empiece por dividir el intervalo a, b en n subintervalos iguales, cada uno de ellos de