calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA |||| 377
CAS
9–12 Use la regla del punto medio, con el valor dado de n, para hallar
una aproximación de cada integral. Redondee cada respuesta
hasta cuatro cifras decimales.
2
9. y 10
sx 3 1 dx, n 4 10. y cos 4 xdx, n 4
2 0
11. y 1
senx 2 dx, n 5 12. y 5
x 2 e x dx, n 4
1
13. Si tiene un CAS que evalúe las aproximaciones con los puntos
medios y trace los rectángulos correspondientes (en Maple, use
los comandos de middlesum y middlebox), compruebe la
respuesta para el ejercicio 11 e ilustre con una gráfica. Enseguida,
repita con n 10 y n 20.
14. Con una calculadora programable o una computadora (vea las
instrucciones para el ejercicio 7 de la sección 5.1), calcule las
sumas de Riemann izquierda y derecha para la función
f x senx 2 sobre el intervalo 0, 1, con n 100. Explique
por qué estas estimaciones demuestran que
0.306 y 1
senx 2 dx 0.315
Deduzca que la aproximación con el uso de la regla del punto
medio, con n 5, del ejercicio 11 es exacta hasta dos cifras
decimales.
15. Use una calculadora o una computadora para hacer una tabla
de valores de sumas de la derecha de Riemann R n para
la integral sen x dx con n 5, 10, 50 y 100. ¿A qué valor parecen
tender estos números?
0
16. Use una calculadora o una sumadora para hacer una tabla de
valores de las sumas de la izquierda y de la derecha de
Riemann L y , para la integral x 2 2 n R n
con n 5, 10, 50 y
0 ex dx
100. ¿Entre qué valores tiene que encontrarse el valor de la integral?
¿Puede hacer un enunciado similar para la integral
x 2 2 ? Explique su respuesta.
1 ex dx
17–20 Exprese el límite como una integral definida sobre el intervalo
dado.
17.
0
x
lím
nl n x i ln1 x 2 i x,
i1
0
2, 6
CAS
26. (a) Halle una aproximación a la integral x 2 3x dx usando
una suma de la derecha de Riemann con puntos extre-
0
mos de la derecha y n 8.
(b) Dibuje un diagrama como el de la figura 3 para ilustrar la
aproximación del inciso (a).
(c) Aplique el teorema 4 para evaluar x 4 x 2 3x dx.
0
(d) Interprete la integral del inciso (c) como una diferencia de
áreas e ilustre con un diagrama como el de la figura 4.
27. Demuestre que y b
xdx b 2 a 2
.
a
2
28. Demuestre que y b
x 2 dx b 3 a 3
.
a
3
29–30 Exprese la integral como un límite de sumas de
Riemann. No evalúe el límite.
29. y 6 x
30. y 10
x 4 ln x dx
2 1 x dx 5 1
31–32 Exprese la integral como un límite de sumas. Enseguida evalúe
utilizando un sistema algebraico para computadora para encontrar
tanto la suma como el límite.
31. sen 5xdx
32.
33.
y
0
Se muestra la gráfica de f. Evalúe cada integral interpretándola
en términos de áreas.
(a) y 2
f x dx
0
(c) y 7
f x dx
5
y
2
0
2
(b)
(d)
y=ƒ
y 10
x 6 dx
2
y 5
f x dx
0
y 9
f x dx
0
4 6 8
x 4
x
18.
cos x 1
lím
nl n x, , 2
i1 x 1
19.
lím
n l n
i1
s2x* i x* 2 i x,
20. lím 4 3x i * 2 6x i * 5 x,
n l n
i1
21–25 Use la forma de la definición de integral que se dio en el
teorema 4 para evaluar la integral.
21. 1 3x dx
22. y 4
x 2 2x 5 dx
1
y 5 1
23. y 2
2 x 2 dx
0
25. y 2
x 3 dx
1
1, 8]
24.
0, 2
y 5
1 2x 3 dx
0
34. La gráfica de t consta de dos rectas y un semicírculo. Úsela para
evaluar cada integral.
(a) y 2
tx dx (b) y 6
tx dx (c) y 7
tx dx
0
2
0
y
4
2
0
y=©
4 7
x