calculo-de-una-variable-1

CAPÍTULO 10 REPASO |||| 669
REVISIÓN DE CONCEPTOS
10
REPASO
1. (a) ¿Qué es una curva paramétrica?
(b) ¿Cómo bosqueja una curva paramétrica?
2. (a) ¿Cómo encuentra la pendiente de una tangente a una curva
paramétrica?
(b) ¿Cómo determina el área debajo de una curva paramétrica?
3. Escriba una expresión para cada una de las siguientes descripciones:
(a) La longitud de una curva paramétrica
(b) El área de la superficie obtenida al hacer girar una curva
paramétrica respecto al eje x
4. (a) Use un diagrama para explicar el significado de las coordenadas
polares r, de un punto.
(b) Escriba ecuaciones que expresen las coordenadas cartesianas
x, y de un punto en términos de las coordenadas polares.
(c) ¿Qué ecuaciones usaría para obtener las coordenadas polares
de un punto si conociera las coordenadas cartesianas?
5. (a) ¿Cómo determina la pendiente de una línea tangente a una
curva polar?
(b) ¿Cómo calcula el área de una región acotada por una curva
polar?
(c) ¿Cómo halla la longitud de una curva polar?
6. (a) Dé una definición geométrica de una parábola.
(b) Escriba una ecuación de una parábola con foco 0, p y
directriz y p. ¿Qué pasa si el foco es p, 0 y la
directriz es x p?
7. (a) Dé una definición de una elipse en términos de los focos.
(b) Escriba una ecuación para la elipse con focos c, 0 y
vértices a, 0.
8. (a) Dé una definición de una hipérbola en términos de los
focos.
(b) Escriba una ecuación para la hipérbola con focos c, 0 y
vértices a, 0.
(c) Escriba ecuaciones para las asíntotas de la hipérbola del
inciso (b).
9. (a) ¿Cuál es la excentricidad de una sección cónica?
(b) ¿Qué se puede decir acerca de la excentricidad si la sección cónica
es una elipse? ¿Una hipérbola? ¿Una parábola?
(c) Escriba una ecuación polar para una sección cónica con
excentricidad e y directriz x d. ¿Qué pasa si la directriz
es x d? ¿ y d? ¿ y d?
PREGUNTAS DE VERDADERO-FALSO
Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero,
explique por qué. Si es falso, explique por qué, o dé un ejemplo que
refute al enunciado.
1. Si la curva paramétrica x f t, y tt satisface t1 0,
entonces tiene una tangente horizontal cuando t 1.
2. Si x f t y y tt son derivables dos veces, por lo tanto
d 2 y
.
dx d2 ydt 2
2 d 2 xdt 2
3. La longitud de la curva x f t, y tt, a t b, es
x b
s f t 2 tt 2 dt.
a
4. Si un punto se representa por x, y en coordenadas cartesianas
donde x 0) y r, en coordenadas polares, entonces
.
tan 1 yx
5. Las curvas polares r 1 sen 2 y r sen 2 1 tienen la
misma gráfica.
6. Las ecuaciones r 2, x 2 y 2 4 y x 2 sen 3t,
y 2 cos 3t 0 t 2 tienen la misma gráfica.
7. Las ecuaciones paramétricas x t 2 , y t 4 tienen la misma
gráfica que x t 3 , y t 6 .
8. La gráfica de y 2 2y 3x es una parábola.
9. Una línea tangente a una parábola corta a la parábola sólo
una vez.
10. Una hipérbola nunca corta a su directriz.