calculo-de-una-variable-1

6 |||| PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO
Por lo tanto, al resolver el problema de la tangente en el cálculo diferencial, también
está resolviendo problemas referentes a velocidades. Las mismas técnicas permiten resolver
problemas en que intervienen razones de cambio en todas las ciencias naturales
y sociales.
LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
En el siglo v a. C., el filósofo griego Zenón de Elea propuso cuatro problemas, que ahora
se conocen como las paradojas de Zenón, las cuales desafiaban algunas de las ideas concernientes
al espacio y al tiempo que sostenían en sus días. La segunda paradoja de Zenón
se refiere a una carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga a la que se ha dado una
ventaja inicial. Zenón argumentaba, como se hace ver a continuación, que Aquiles nunca
podría rebasarla. Suponga que Aquiles arranca en la posición a 1 y la tortuga en la posición t 1
(véase la figura 9). Cuando Aquiles llega a a 3 t 2 , la tortuga está en t 3 . Este proceso
continúa indefinidamente y, de este modo, ¡parece que la tortuga siempre estará adelante!
Pero esto contraviene el sentido común.
Aquiles
a¡ a a£ a¢ a∞
. . .
FIGURA 9
tortuga
t¡ t t£ t¢
. . .
Una manera de explicar esta paradoja es con la idea de sucesión. Las posiciones sucesivas
de Aquiles a 1 , a 2 , a 3 ,...
o las posiciones sucesivas de la tortuga t 1 , t 2 , t 3 ,...
forman
lo que se conoce como una sucesión.
En general, una sucesión a n es un conjunto de números escritos en un orden definido.
Por ejemplo, la sucesión
{1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, ...}
se puede describir al dar la fórmula siguiente para el n-ésimo término
a n 1 n
0
a¢ a£
a
(a)
a¡
1
Puede visualizar esta sucesión situando sus términos en una recta numérica como en
la figura 10(a) o trazando su gráfica como en la figura 10(b). Observe, a partir de cualquiera
de las dos figuras, que los términos de la sucesión a n 1n se aproximan cada
vez más a 0 al aumentar n. De hecho, es posible hallar términos tan pequeños como lo
desee al hacer n suficientemente grande. Entonces el límite de la sucesión es 0 y se indica
al escribir
lím
n l
1
n 0
1
En general, se usa la notación
lím a n L
n l
1 2 3 4 5 6 7 8
FIGURA 10
(b)
n
si los términos a n se aproximan al número L, cuando n se hace suficientemente grande. Esto
significa que se puede aproximar los números a n al número L tanto como quiera si se toma
una n lo suficientemente grande.