calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 7.7 INTEGRACIÓN APROXIMADA |||| 501
Para simplificar los cálculos, se considera primero el caso donde x 0 h, x 1 0 y
x 2 h. (Véase la figura 8.) Se sabe que la ecuación de la parábola a través de P 0 , P 1 y
P 2 es de la forma y Ax 2 Bx C y, por lo tanto, el área bajo la parábola de x h
a x h es
& Aquí se ha empleado el teorema 5.5.7.
Observe que Ax 2 C es par y Bx es impar.
y h h
Ax 2 Bx C dx 2 y h
Ax 2 C dx
0
2A x 3
h
3 Cx 0
2A h 3
3 Ch h 3 2Ah 2 6C
Pero, puesto que la parábola pasa por P 0 h, y 0 , P 1 0, y 1 , y P 2 h, y 2 , se tiene
y 0 Ah 2 Bh C Ah 2 Bh C
y 1 C
y 2 Ah 2 Bh C
y, por lo tanto,
y 0 4y 1 y 2 2Ah 2 6C
Así, se puede reescribir el área de la parábola como
h
3 y 0 4y 1 y 2
Ahora, si esta parábola se desplaza horizontalmente, no se cambia el área bajo ésta. Esto
significa que el área bajo la parábola que pasa por P 0 , P 1 y P 2 de x x 0 a x x 2 en la figura
7 es aún
h
3 y 0 4y 1 y 2
De manera similar, el área bajo la parábola por P 2 , P 3 y P 4 de x x 2 a x x 4 es
h
3 y 2 4y 3 y 4
Si se calculan de este modo las áreas debajo de todas las parábolas y se suman los resultados,
se obtiene
y b
f x dx h
a 3 y 0 4y 1 y 2 h 3 y 2 4y 3 y 4
h 3 y n2 4y n1 y n
h 3 y 0 4y 1 2y 2 4y 3 2y 4 2y n2 4y n1 y n
Aunque se ha derivado esta aproximación para el caso en el que f x 0, es una aproximación
razonable para cualquier función continua f y se llama regla de Simpson en honor
al matemático inglés Thomas Simpson (1710-1761). Note el patrón de coeficientes:
1, 4, 2, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 2, 4, 1.