calculo-de-una-variable-1

A38 |||| APÉNDICE E NOTACIÓN SIGMA
E
EJERCICIOS
1–10 Escriba la suma en forma expandida.
1. 5
si
2. 6
3. 3 i 4.
i1
5. 4 2k 1
k0 2k 1
6. 8
7. i 10 8.
9. 1 j
10.
11–20 Escriba la suma en notación de sigma.
11. 1 2 3 4 10
12.
16.
17.
20.
6
i4
n
i1
n1
j0
s3 s4 s5 s6 s7
1
13. 2 2 3 3 4 4 5 19
20
3
14. 7 4 8 5 9 6
10 23
27
15. 2 4 6 8 2n
1 3 5 7 2n 1
1 2 4 8 16 32
1
18. 1 1 4 1 9 1
16 1 25 1 36
19. x x 2 x 3 x n
1 x x 2 x 3 1 n x n
21–35 Encuentre el valor de la suma.
21. 8
3i 2
22. 6
23. 6
3 j1 24. 8
i4
25. 1 n 26.
j1
20
n1
4
i0
n
i1
n
i1
n
i1
27. 2 i i 2
28.
29. 2i
30.
31. i 2 3i 4
32.
ii 2
i3
cos k
k0
100
4
i1
4
2 3i
i2
n
2 5i
i1
n
3 2i 2
i1
33. 34. n
i 1i 2
ii 1i 2
i1
6
i 3
i4
n3
j 2
jn
n
f x i x i
i1
i1
1
i 1
x k
k5
35.
n
i 3 i 2
i1
36. Encuentre el número n tal que i 78.
37. Demuestre la fórmula (b) del teorema 3.
38. Demuestre la fórmula (e) del teorema 3 usando inducción
matemática.
39. Demuestre la fórmula (e) del teorema 3 usando un método
semejante al del ejemplo 5, solución 1 [empiece con
1 i 4 i 4 .
40. Demuestre la fórmula (e) del teorema 3 usando el siguiente
método publicado por Abu Bekr Mohammed ibn Alhusain
Alkarchi hacia el año 1010. La figura muestra un cuadrado
ABCD en el que los lados AB y AD han sido divididos en segmentos
de longitudes 1, 2, 3,…,n. En esta forma, el lado del
cuadrado tiene longitudes nn 12 de modo que el área es
nn 12 2 . Pero el área también es la suma de las áreas de
los n “nomon” G 1 , G 2 ,..., G n que se muestran en la figura.
Demuestre que el área de G i es i 3 y concluya que la fórmula
(e) es verdadera.
41. Evalúe cada una de las siguientes sumas extensibles.
(a) n
i 4 i 1 4
i1
(c)
i3 99 1 1
i i 1
42. Demuestre la desigualdad generalizada del triángulo:
n
43–46 Encuentre el límite.
(b)
(d)
1
43. lím
44.
n l n
i1
D
n
n
i n
45. lím
n l
n 2
2i
i1 n
.
5
2
3
n
G∞
n
a i
i1
5 n
2i
n
i1
.
.
.
4 G¢
3 G£
2
A 1 G
12 3 4 5 . . . n B
100
5 i 5 i1
i1
n
a i a i1
i1
i1 ai
G n
C
1
lím i 3
n l n
i1 n n 1