calculo-de-una-variable-1

254 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
3. Para obtener una aproximación de una función f mediante una función cuadrática P cerca de
un número a, lo mejor es escribir P en la forma
Px A Bx a Cx a 2
Demuestre que la función cuadrática que satisface las condiciones (i), (ii) y (iii) es
Px f a f ax a 1 2 f ax a 2
4. Encuentre la aproximación cuadrática para f x sx 3, cerca de a 1. Trace las gráficas
de f, la aproximación cuadrática y la aproximación lineal del ejemplo 2 de la sección
3.10 en una pantalla común. ¿Qué podría concluir?
5. En lugar de quedar conforme con una aproximación lineal o una cuadrática para fx, cerca
de x a, intente hallar mejores aproximaciones, con polinomios de grado más alto. Busque
un polinomio de n-ésimo grado
T nx c 0 c 1x a c 2x a 2 c 3x a 3 c nx a n
tal que T n y sus n primeras derivadas tengan los mismos valores en x a como f y sus n
primeras derivadas. Derive repetidas veces y haga x a, para demostrar que estas condiciones
se satisfacen si c 0 f a, c 1 f a, c 2 1 2 f a y, en general,
c k f k a
k!
donde k! 1 2 3 4 k. El polinomio resultante
T nx f a f ax a f a
2!
x a 2 f n a
x a n
n!
se llama polinomio de Taylor de n-ésimo grado, de f, con centro en a.
6. Encuentre el polinomio de Taylor de octavo grado, con centro en a 0, para la función
f x cos x. Dibuje f y los polinomios de Taylor T 2, T 4, T 6, T 8 , en rectángulos de
visualización [5, 5] por [1.4, 1.4]; comente cuán bien se aproximan a f.
3.11
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Ciertas combinaciones de las funciones exponenciales e x y e x surgen tan a menudo en la
matemática y sus aplicaciones que merecen recibir un nombre especial. En muchos aspectos
son similares a las funciones trigonométricas y tienen la misma relación con la hipérbola que
las funciones trigonométricas tienen con la circunferencia. Por esta razón se les llama en
forma colectiva funciones hiperbólicas y de manera individual se les conoce como seno
hiperbólico, coseno hiperbólico y así sucesivamente.
DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
senh x e x e x
2
csch x 1
senh x
cosh x e x e x
2
tanh x senh x
cosh x
sech x 1
cosh x
coth x cosh x
senh x