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758 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
2. Use un polinomio de Taylor para demostrar que, en el caso de las longitudes de onda
largas, la ley de Planck da aproximadamente los mismos valores que la ley de
Rayleigh-Jeans.
; 3. Dibuje f de acuerdo con ambas leyes en una misma pantalla y comente sobre las similitudes
y las diferencias. Use T 5 700 K (la temperatura del Sol). (Quizá quiera cambiar de
metros a la unidad más conveniente de micrómetros: 1 m 10 6 m.)
4. Use la gráfica del problema 3 para estimar el valor de para el cual f es un máximo
según la ley de Planck.
; 5. Investigue cómo la gráfica de f cambia cuando T varía. (Utilice la ley de Planck). En particular,
dibuje f para las estrellas Betelgeuse ( T 3 400 K ), Proción ( T 6 400 K ) y Sirio
( T 9 200 K ) así como para el Sol. ¿Cuál es la variación de la radiación total emitida, es
decir (el área bajo la curva), con T? Apóyese en las gráficas y explique por qué a Sirio se le
conoce como estrella azul y a Betelgeuse como una estrella roja.
REVISIÓN DE CONCEPTOS
11
REPASO
1. (a) ¿Qué es una sucesión convergente?
(b) ¿Qué es una serie convergente?
(c) ¿Qué significa lím n l a n 3?
(d) ¿Qué significa n1 a n 3?
2. (a) ¿Qué es una sucesión acotada?
(b) ¿Qué es una sucesión monótona?
(c) ¿Qué puede decir con respecto a una sucesión monótona
acotada?
3. (a) ¿Qué es una serie geométrica? ¿En qué circunstancias es
convergente? ¿Cuál es su suma?
(b) ¿Qué es una p-serie? ¿En qué circunstancias es convergente?
4. Suponga que a n 3 y s n es la n-ésima suma parcial de la serie.
¿Qué es lím n l a n ? ¿Qué es lím n l s n ?
5. Enuncie lo siguiente.
(a) Prueba de la divergencia
(b) Prueba de la integral
(c) Prueba por comparación
(d) Prueba por comparación en el límite
(e) Prueba de la serie alternante
(f) Prueba de la razón
(g) Prueba de la raíz
6. (a) ¿Qué es una serie absolutamente convergente?
(b) ¿Qué puede decir acerca de dicha serie?
(c) ¿Qué es una serie condicionalmente convergente?
7. (a) Si una serie es convergente de acuerdo con la prueba de la
integral, ¿cómo estima su suma?
(b) Si una serie es convergente según la prueba por comparación,
¿cómo estima su suma?
(c) Si una serie es convergente según la prueba de la serie
alternante, ¿cómo estima su suma?
8. (a) Escriba la forma general de una serie de potencias.
(b) ¿Qué es el radio de convergencia de una serie de potencias?
(c) ¿Qué es el intervalo de convergencia de una serie de
potencias?
9. Suponga que f x es la suma de una serie de potencias con radio
de convergencia R.
(a) ¿Cómo deriva f ? ¿Cuál es el radio de convergencia de la
serie para f ?
(b) ¿Cómo integra f ? ¿Cuál es el radio de convergencia de la
serie para x f x dx?
10. (a) Escriba una expresión para el polinomio de Taylor de
n-ésimo grado de f centrada en a.
(b) Escriba una expresión para la serie de Taylor de f centrada
en a.
(c) Escriba una expresión para la serie de Maclaurin de f .
(d) ¿Cómo demuestra que f x es igual a la suma de su serie
de Taylor?
(e) Enuncie la desigualdad de Taylor.
11. Escriba la serie de Maclaurin y el intervalo de convergencia
para cada una de las funciones siguientes.
(a) 11 x (b) e x
(c) sen x
(d) cos x
(e) tan 1 x
12. Escriba el desarrollo de la serie binomial de 1 x k . ¿Cuál es
el radio de convergencia de esta serie?