calculo-de-una-variable-1

APÉNDICE F PRUEBAS DE TEOREMAS |||| A43
por f 1 . (Observe el diagrama de flechas de la figura 1.) Por lo tanto, ha hallado un número
d 0 tal que
si
y y 0
entonces
f1 y f 1 y 0
f(x¸-∑)
{
f
y¸
∂¡ ∂
f–!
f(x¸+∑)
}
f
y
FIGURA 1
{ { }
}
a x¸-∑
x¸
x¸+∑
b
x
Esto demuestra que lím y entonces f 1 y ly0 f 1 y f 1 y 0
es continua en cualquier número
y 0 en su dominio.
3
TEOREMA Si f es continua en b y lím x la gx b, entonces
lím ftx fb
x l a
0
PRUEBA Sea 0. Desea hallar un número tal que
si,
0 x a d
Como f es continua en b, tiene
entonces
f gx f b
y entonces existe 1
0 tal que
lím fy fb
x lb
si,
0 y b d 1
entonces
f y f b
0
Como lím x l a gx b, existe tal que
si,
0 x a d
entonces
gx b d 1
Al combinar estos dos enunciados, siempre que 0 x a d tenemos
gx b d , lo cual implica que f gx f b 1
. Por lo tanto, ha demostrado
que lím x l a fgx fb.
sen
SECCIÓN 3.3 La prueba del siguiente resultado se prometió cuando demostró que lím 1.
2
tan
TEOREMA Si 0 , entonces .
l 0
PRUEBA La figura 2 muestra un sector de círculo con centro O, ángulo central u y radio 1.
Entonces
AD OA tan tan