calculo-de-una-variable-1

PROYECTO DE APLICACIÓN ¿QUÉ TAN RÁPIDO DRENA UN TANQUE? |||| 589
2. Como resultado de la rotación y viscosidad del líquido, el modelo teórico dado por la
ecuación 1 no es bastante exacto. En cambio, el modelo
2
dh
dt
ksh
& Esta parte del proyecto se realiza mejor como
una demostración de salón de clases o como un
proyecto de grupo con tres alumnos en cada grupo:
un cronometrador que indique los segundos, una
persona a cargo de la botella para estimar la
altura cada 10 segundos y alguien que registre
estos valores.
se emplea con más frecuencia y la constante k (que depende de las propiedades físicas del
líquido) se determina de los datos relacionados con el drenado del tanque.
(a) Suponga que hace un orificio en el costado de una botella cilíndrica y la altura
h del agua (arriba del orificio) disminuye de 10 cm a 3 cm en 68 segundos.
Use la ecuación 2 a fin de hallar una expresión para ht. Evalúe ht para
t 10, 20, 30, 40, 50, 60.
(b) Haga un orificio de 4 mm cerca del fondo de la parte cilíndrica de una botella de plástico
de bebida carbonatada de dos litros. Adhiera una tira de cinta adhesiva marcada en
centímetros de 0 a 10, con 0 que corresponde a la parte superior del orificio. Con un
dedo sobre el orificio, llene la botella con agua hasta la marca de 10 cm. Luego quite su
dedo del orificio y registre los valores de ht para t 10, 20, 30, 40, 50, 60 segundos.
(Es probable que encuentre que transcurren 68 segundos para que el nivel disminuya a
h 3 cm.) Compare sus datos con los valores de ht del inciso (a). ¿Qué tan bien
predice el modelo los valores reales?
3. En muchas partes del mundo, el agua para los sistemas de aspersión en grandes hoteles
y hospitales se suministra por gravedad desde tanques cilíndricos en o cerca de los techos de
los edificios. Suponga que un tanque de este tipo tiene radio de 10 ft y que el diámetro
de la salida es de 2.5 pulgadas. Un ingeniero tiene que garantizar que la presión del agua será
por lo menos 2 160 lb/ft 2 para un periodo de 10 minutos. (Cuando se presenta un incendio, el
sistema eléctrico podría fallar y podría tomar hasta 10 minutos la activación del generador de
emergencia y la bomba de agua.) ¿Qué altura debe especificar el ingeniero para el tanque, a
fin de garantizar la presión? (Use el hecho de que la presión del agua a una profundidad de
d pies es P 62.5d. Véase la sección 8.3.)
4. No todos los tanques de agua tienen forma cilíndrica. Suponga que un tanque tiene área
de sección transversal Ah a la altura h. Por lo tanto el volumen del agua hasta la altura h
es V x h Au du y, por lo tanto, el teorema fundamental del cálculo da dVdh Ah. Se
0
deduce que
dV
dt
dV
dh
dh
dt
Ah dh
dt
y, por consiguiente, la ley de Torricelli se convierte en
Ah dh
dt
(a) Suponga que el tanque tiene la forma de una esfera con radio 2 m y al principio está
lleno con agua hasta la mitad. Si el radio del orificio circular es 1 cm y se toma t 10
2
ms , muestre que h satisface la ecuación diferencial
4h h 2 dh
dt
as2th
(b) ¿Cuánto tarda en drenar por completo el agua?
0.0001s20h