calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 7.2 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS |||| 461
En los ejemplos precedentes, una potencia impar de seno y coseno permitió separar
un solo factor y convertir la potencia par restante. Si el integrando contiene potencias
pares de seno y coseno, esta estrategia falla. En este caso, se puede sacar ventaja de
las siguientes identidades de la mitad de un ángulo (véanse las ecuaciones 17b y 17a en
el apéndice D):
sen 2 x 1 21 cos 2x
y
cos 2 x 1 21 cos 2x
& En el ejemplo 3 se muestra que el área
de la región mostrada en la figura 2 es p/2.
1.5
y=sen@ x
V EJEMPLO 3 Evalúe .
0 sen2 x dx
SOLUCIÓN Si se escribe sen 2 x 1 cos 2 x, no se simplifica la evaluación de la integral.
Sin embargo, al usar la fórmula de la mitad de un ángulo para sen 2 x, se tiene
y
y
0 sen2 x dx 1 2 y 1 cos 2x dx [ 1 2 (x 1 2 sen 2x)] 0
0
0
_0.5
FIGURA 2
π
1 2( 1 2 sen 2) 1 2(0 1 2 sen 0) 1 2
Observe que mentalmente se hizo la sustitución u 2x al integrar cos 2x. Otro método
para evaluar esta integral se dio en el ejercicio 43 en la sección 7.1.
EJEMPLO 4 Determine y sen 4 x dx.
SOLUCIÓN Se podría evaluar esta integral por medio de la fórmula de reducción para
x sen n x dx (ecuación 7.1.7) junto con el ejemplo 3 (como en el ejercicio 43 de la sección
7.1), pero un mejor método es escribir sen 4 x sen 2 x 2 y usar una fórmula de la
mitad de un ángulo:
y sen 4 x dx y sen 2 x 2 dx
2
1 cos 2x
y dx
2
1 4 y 1 2 cos 2x cos 2 2x dx
Puesto que ocurre cos 2 2x , se debe usar otra fórmula de la mitad de un ángulo
Esto da
cos 2 2x 1 21 cos 4x
y sen 4 x dx 1 4 y 1 2 cos 2x 1 2 1 cos 4x dx
1 4 y ( 3 2 2 cos 2x 1 2 cos 4x) dx
1 4( 3 2 x sen 2x 1 8 sen 4x) C
Para resumir, se listan las directrices a seguir al evaluar integrales de la forma
x sen m x cos n x dx, donde m 0 y n 0 son enteros.