calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS |||| 193
& Cuando memorice esta tabla, resulta útil
notar que los signos menos van con las
derivadas de las “cofunciones”; es decir,
coseno, cosecante y cotangente.
d
6
dx tan x sec2 x
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
d
dx sen x cos x
También es fácil hallar las derivadas de las funciones trigonométricas restantes, csc, sec y
cot, aplicando la regla del cociente (véase los ejercicios 17-19). En la tabla siguiente aparecen
todas las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas. Recuerde que son
válidas sólo cuando x se mide en radianes.
d
d
cos x sen x
dx
d
dx tan x sec2 x
csc x csc x cot x
dx
d
sec x sec x tan x
dx
d
dx cot x csc2 x
EJEMPLO 2 Derive f x
tangente horizontal?
SOLUCIÓN La regla del cociente da
sec x . ¿Para cuáles valores de x la gráfica de f tiene una
1 tan x
f x
1 tan x d dx sec x sec x d dx
1 tan x 2
1 tan x
3
_3 5
_3
FIGURA 4
Las tangentes horizontales
del ejemplo 2
1 tan x sec x tan x sec x sec2 x
1 tan x 2
sec x tan x tan2 x sec 2 x
1 tan x 2
sec x tan x 1
1 tan x 2
Al simplificar la respuesta, se usó la identidad tan 2 x 1 sec 2 x.
Como sec x nunca es 0, fx 0 cuando tan x 1, y esto sucede cuando
x n 4, donde n es un entero (véase la figura 4).
Las funciones trigonométricas se usan con frecuencia en el modelado de fenómenos del
mundo real. En particular, las vibraciones, las ondas, los movimientos elásticos y otras
cantidades que varían de manera periódica, se pueden describir por medio de las funciones
trigonométricas. En el ejemplo siguiente, se analiza un caso de movimiento armónico
simple.
FIGURA 5
0
4
s
V EJEMPLO 3 Un objeto que se encuentra en el extremo de un resorte vertical se desplaza
hacia abajo 4 cm más allá de su posición de reposo, para estirar el resorte, y se deja en
libertad en el instante t 0. (Véase la figura 5 y observe que la dirección hacia abajo es
positiva.) Su posición en el instante t es
s f t 4 cos t