calculo-de-una-variable-1

610 |||| CAPÍTULO 9 ECUACIONES DIFERENCIALES
(c) Si se considera a W como una función de R, se tiene la ecuación diferencial
dW
dR
0.02W 0.00002RW
0.08R 0.001RW
Se dibuja el campo direccional para esta ecuación diferencial en la figura 1 y se emplea para
bosquejar varias curvas solución en la figura 2. Si se va a lo largo de una curva solución,
se observa cómo cambia la correspondencia entre R y W conforme pasa el tiempo. Observe
que al parecer las curvas están cercanas en el sentido de que si se viaja a lo largo de una
curva, siempre se vuelve al mismo punto. Observe también que el punto (1 000, 80) está
dentro de todas las curvas solución. Ese punto se llama punto de equilibrio porque corresponde
a la solución de equilibrio R 1 000, W 80.
W
150
W
150
100
100
50
50
0 1000
2000 3000 R
0 1000
2000 3000 R
FIGURA 1 Campo direccional para el sistema depredador-presa
FIGURA 2 Retrato de fase del sistema
Cuando se representan soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales como en
la figura 2, se hace referencia al plano RW como el plano fase, y se llama trayectorias
de fase a las curvas solución. Así, una trayectoria de fase es una que se traza mediante
las soluciones R, W conforme pasa el tiempo. Un retrato de fase consta de puntos de
equilibrio y trayectorias de fase representativas, como se muestra en la figura 2.
(d) Empezar con 1 000 conejos y 40 lobos corresponde a trazar la curva solución por el
punto P 0 1 000, 40. En la figura 3 se muestra esta trayectoria de fase sin el campo direccional.
Si se empieza en el punto P 0 en el tiempo t 0 y se permite que se incremente
t, ¿se va en el sentido de las manecillas del reloj o al contrario alrededor de la
W
140
P
120
100
80
60
P£
P¡
40
20
P¸ (1000, 40)
FIGURA 3
Trayectoria de fase por (1 000, 40)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 R