calculo-de-una-variable-1

158 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
y
Para x 0 debe investigar
0
x
f 0 lím
h l 0
lím
h l 0
f 0 h f 0
h
0 h 0
h
(si existe)
(a) y=ƒ=| x |
y
1
0
_1
(b) y=fª(x)
FIGURA 5
x
Compare los límites por la izquierda y por la derecha, por separado:
y
lím
h l 0
Como estos límites son diferentes, f 0 no existe. Así, f es derivable en toda x,
excepto 0.
Se da una fórmula para f
0 h 0
h
lím
h l 0
lím
0 h 0 lím
h
h l 0 h
h l 0
h
f x 1 1
lím h
h l 0 h
lím 1 1
h l 0
si x 0
si x 0
y su gráfica aparece en la figura 5(b). La inexistencia de f0 se refleja geométricamente
en el hecho de que la curva y x no tiene una recta tangente en 0, 0. Véase la figura
5(a).
Tanto la continuidad como la derivabilidad son propiedades deseables para una función
y el teorema siguiente muestra cómo se relacionan ambas
h
h
lím
h l 0 h h lím
h l 0 1 1
4
TEOREMA Si f es derivable en a, entonces f es continua en a.
DEMOSTRACIÓN Para probar que f es continua en a, debe probar que lím xl a fx fa.
Lleve a cabo esto demostrando que la diferencia fx fa tiende a 0.
La información dada es que f es derivable en a; es decir,
f a lím
x l a
f x f a
x a
existe. (Véase la ecuación 2.7.5.) Para vincular lo dado con lo desconocido, divida y
multiplique fx fa por x a (lo cual es viable cuando x a):
f x f a
f x f a
x a
x a
De este modo, si usa la ley de producto y la ecuación (2.7.5), puede escribir
lím f x f a lím
x l a x l a
f x f a
x a
x a
lím
x l a
f x f a
x a
f a 0 0
lím
x l a
x a