calculo-de-una-variable-1

588 |||| CAPÍTULO 9 ECUACIONES DIFERENCIALES
CAS
donde v vt y s st representan la velocidad y la posición
del objeto en el tiempo t, respectivamente. Por ejemplo, considere
un bote que se mueve en el agua.
(a) Suponga que la fuerza de resistencia es proporcional a la
velocidad, es decir, f v kv, k es una constante positiva.
(Este modelo es apropiado para valores pequeños de v.)
Sean v0 v 0 y s0 s 0 los valores iniciales de v y s.
Determine v y s en cualquier tiempo t. ¿Cuál es la distancia
total que recorre el objeto desde el tiempo t 0?
(b) Para valores más grandes de v un mejor modelo se obtiene
suponiendo que la fuerza de resistencia es proporcional al
cuadrado de la velocidad, es decir, f v kv 2 , k 0.
(Newton fue el primero en proponer este modelo). Sean
v 0 y s 0 los valores iniciales de v y s. Determine v y s en
cualquier tiempo t. ¿Cuál es la distancia total que viaja
el objeto en este caso?
47. Sea At el área de un cria de tejido deseda en el tiempo t y sea
M el área final del tejido cuando se completa el crecimiento. La
mayor parte de las divisiones celulares ocurren en la periferia
del tejido y el número de celdas de la periferia es proporcional
a sAt. Así, un modelo razonable para el crecimiento del
tejido se obtiene suponiendo que la rapidez de crecimiento
del área es proporcional a sAt y M At.
(a) Formule una ecuación diferencial y empléela para mostrar
que el tejido crece lo más rápido posible cuando At 1 3 M .
(b) Resuelva la ecuación diferencial con el fin de hallar
una expresión para At. Use un sistema algebraico
computacional para llevar a cabo la integración.
48. De acuerdo con la ley de Newton de la gravitación universal,
la fuerza gravitacional sobre un objeto de masa m que ha sido
proyectado verticalmente hacia arriba desde la superficie
terrestre es
F
mtR2
x R 2
donde x xt es la distancia del objeto arriba de la superficie
en el tiempo t, R es el radio de la Tierra y t es la aceleración
debida a la gravedad. Asimismo, por la segunda ley de Newton,
F ma mdvdt y, por lo tanto,
m dv
dt mtR2
x R 2
(a) Suponga que un cohete es lanzado verticalmente hacia arriba
con una velocidad inicial v 0 . Sea h la altura máxima sobre la
superficie alcanzada por el objeto. Muestre que
v 0 2tRh
R h
[Sugerencia: por la regla de la cadena,
mdvdt mvdvdx.]
(b) Calcule v e lím h l v 0 . Este límite se llama velocidad de
escape para la Tierra.
2
(c) Use R 3 960 millas y t 32 piess para calcular v e en
pies por segundo y en millas por segundo.
PROYECT0 DE
APLICACIÓN
¿QUÉ TAN RÁPIDO DRENA UN TANQUE?
Si el agua (u otro líquido) drena de un tanque, se espera que el flujo sea mayor al principio (cuando
la profundidad del agua es máxima) y disminuya poco a poco a medida que disminuye el nivel
del agua. Pero se necesita una descripción matemática más precisa de cómo disminuye el flujo,
a fin de contestar el tipo de preguntas que hacen los ingenieros: ¿en cuánto tiempo se drena por
completo un tanque? ¿Cuánta agua debe contener un tanque a fin de garantizar cierta presión de
agua mínima para un sistema de aspersión?
Sea ht y Vt la altura y el volumen de agua en el tanque en el tiempo t. Si el agua sale por
un orificio con área a en el fondo del tanque, entonces la ley de Torricelli dice que
1
dV
dt
as2th
donde t es la aceleración debida a la gravedad. Así, la cantidad a la cual fluye el agua desde el
tanque es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del agua.
1. (a) Suponga que el tanque es cilíndrico con altura 6 pies y radio 2 pies, y el orificio es
2
circular con radio 1 pulgada. Si se toma t 32 piess , muestre que y satisface la
ecuación diferencial
dh
1
dt 72 sh
(b) Resuelva esta ecuación para hallar la altura del agua en el tiempo t, bajo el supuesto de
que el tanque está lleno en el tiempo t 0.
(c) ¿Cuánto tarda en drenar por completo el agua?