calculo-de-una-variable-1

182 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
58. ¿Dónde corta por segunda vez la normal a la parábola
y x x 2 que pasa por el punto (1, 0) a la misma parábola?
Elabore un esquema.
59.
Dibuje un diagrama para demostrar que hay dos rectas tangentes
a la parábola y x 2 que pasan por el punto (0, 4).
Encuentre las coordenadas de los puntos donde estas rectas
tangentes intersecan la parábola.
60. (a) Halle ecuaciones de ambas rectas que pasan por el punto
(2, 3) que sean tangentes a la parábola y x 2 x.
(b) Muestre que no hay ninguna recta que pase por el punto (2, 7)
que es tangente a la parábola. Cuando dibuje el diagrama verá
por qué.
61. Aplique la definición de derivada para demostrar que si
f x 1x, entonces f x 1x 2 . (Esto demuestra la regla
de la potencia para el caso n 1.)
62. Encuentre la derivada n-ésima de cada función calculando las
primeras derivadas y observe el patrón que se desarrolla
(a) f(x) x n f(x) 1/x
63. Hallar un polinomio de segundo grado P de tal manera que
P(2) 5, P(2) 3, y P(2) 2
64. La ecuación y y 2y x 2 se le llama ecuación diferencial
porque involucra uno función desconocida y y sus derivadas y
y y. Hallar las constantes A, B y C de tal manera que la función
y Ax 2 Bx C satisface esta ecuación. (Las ecuaciones
diferenciales se estudiarán con detalle en el capítulo 9.)
65. Hallar una función cúbica y ax 3 bx 2 cx d cuya gráfica
tiene una tangente horizontal en los puntos (2,6) y (2,0).
66. Hallar una parábola con ecuación y ax 2 bx c que tiene
pendiente 4 en x 1, pendiente 8 en x 1, y pasa a través
de el punto (2, 15).
67. Sea
f x 2 x
x 2 2x 2
¿Es derivable f en 1? Dibuje las gráficas f y f.
68. ¿En qué valores la función siguiente t es derivable?
2x
tx 1
x 2
x
si x 1
si x 1
si x 1
si 1 x 1
si x 1
Proporcione una fórmula para t y trace las gráficas de t y t.
69. (a) ¿Para qué valores de x la función es
derivable? Encuentre una fórmula para f.
(b) Grafique f y f.
70. ¿Dónde es derivable la función ?
Proporcione una fórmula para h y grafique h y h.
71. Determine la parábola con ecuación y ax 2 bx cuya
tangente en (1, 1) tiene por ecuación y 3x 2.
72. Considere la curva y x 4 ax 3 bx 2 cx d que tiene
una recta tangente donde x 0 con ecuación y 2x 1 y una
recta tangente cuando x 1 con ecuación y 2 3x. Halle
los valores de a, b, c y d.
73.
¿Para qué valores de a y b es la recta 2x y b tangente a la
parábola y ax 2 cuando x 2?
74. Hallar el valor de c tal que la línea y 3 x 6 es tangente a
2
la curva y c sx.
75. Sea
f x x 2
Determine los valores de m y b que hacen que f sea siempre
derivable.
76. Se dibuja una recta tangente a la hipérbola xy c en un punto P.
(a) Demuestre que el punto medio de este segmento de la recta
que se corta de su recta tangente mediante los ejes de coordenadas
es P.
(b) Demuestre que el triángulo formado por la recta tangente y
los ejes de coordenadas tiene siempre la misma área, sin
importar dónde se ubique P sobre la hipérbola.
x 1000 1
77. Evalúe lím .
x l 1 x 1
mx b
f x x 2 9
hx x 1 x 2
si x 2
si x 2
78. Dibuje un diagrama en el que se muestren dos rectas perpendiculares
que se intersecan sobre el eje y, y son tangentes a la parábola
y x 2 . ¿Dónde se intersecan estas rectas?
79. Si c 1 2, ¿cuántas líneas a través del punto (0, c) son rectas
normales a la parábola y x 2 ? ¿que sucede si c 1 2
?
80. Dibuje la parábola y x 2 y y x 2 2x 2. ¿Considera que
existe una recta que es tangente a ambas curvas? De ser así,
hallar su ecuación. Si no es así, ¿Por qué no?
PROYECTO DE
APLICACIÓN
CONSTRUCCIÓN DE UNA MONTAÑA RUSA
Suponga que se le solicita que diseñe el primer ascenso y descenso de una montaña rusa nueva. Después
de estudiar fotografías de sus montañas rusas predilectas, decide hacer la pendiente del ascenso
0.8 y la del descenso 1.6. Opta por conectar estos dos tramos rectos y L 1x y y L 2x mediante
parte de una parábola y fx ax 2 bx c, donde x y fx se miden en pies. Para que
el trayecto sea uniforme no pueden existir cambios abruptos de dirección, por lo tanto desea que los