calculo-de-una-variable-1

542 |||| CAPÍTULO 8 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
MOMENTOS Y CENTROS DE MASA
P
El objetivo principal aquí es hallar el punto P sobre el que una placa delgada de cualquier
forma se balancea horizontalmente como en la figura 5. El punto se llama centro de masa
(o centro de gravedad) de la placa.
Primero se considera la situación más simple ilustrada en la figura 6, donde dos masas
m 1 y m 2 se fijan a una varilla de masa insignificante en lados opuestos de un fulcro (punto
de apoyo) y a distancias y del fulcro. La varilla se balanceará si
d 1
d 2
FIGURA 5
2
m 1 d 1 m 2 d 2
d¡
d
m¡ m
fulcro (punto de apoyo)
FIGURA 6
Éste es un hecho experimental que descubrió Arquímedes y se llama ley de la palanca.
(Considere una persona de poco peso que tiene como contrapeso a una persona más pesada
en un sube y baja sentada lejos del centro.)
Ahora suponga que la varilla yace a lo largo del eje x con m 1 en x 1 y m 2 en x 2 y el centro
de masa en x. Si se comparan las figuras 6 y 7, se ve que d 1 x x 1 y d 2 x 2 x y,
entonces, la ecuación 2 produce
m 1 x x 1 m 2 x 2 x
m 1 x m 2 x m 1 x 1 m 2 x 2
x m 1x 1 m 2 x 2
3
m 1 m 2
Los números m 1 x 1 y m 2 x 2 se llaman momentos de las masas m 1 y m 2 (con respecto al origen),
y la ecuación 3 dice que el centro de masa x se obtiene al sumar los momentos de las
masas y dividir entre la masa total m m 1 m 2 .
0
⁄ –x ¤
m¡ –x-⁄
¤-–x
m
x
FIGURA 7
En general, si se tiene un sistema de n partículas con masas m 1 , m 2 , ..., m n localizadas
en los puntos x 1 , x 2 , ..., x n sobre el eje x, se puede demostrar de manera similar que el centro
de masa del sistema se localiza en
4
x
n
m i x i
i1
n
m i
i1
n
m i x i
i1
m
donde m m i es la masa total del sistema, y la suma de los momentos individuales
M n
m i x i
i1
se llama momento del sistema respecto al origen. La ecuación 4 se podría reescribir como
mx M, que dice que si se considerara a la masa total como si estuviera concentrada en
el centro de masa x, en consecuencia su momento sería el mismo que el del sistema.