calculo-de-una-variable-1

374 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
y
g
f+g
0 a
b x
FIGURA 14
b
j [ƒ+©] dx=
a
b
b
j ƒ dx+j © dx
a
f
a
En la propiedad 2 se afirma que la integral de una suma es la suma de las integrales. Para
funciones positivas, esto quiere decir que el área debajo de f t es el área debajo de f
más el área debajo de t. La figura 14 ayuda a comprender por qué esto es cierto: en vista
de la manera en que funciona la adición gráfica, los segmentos rectilíneos verticales correspondientes
tienen alturas iguales.
En general, la propiedad 2 se deduce del teorema 4 y del hecho de que el límite de una
suma es la suma de los límites:
y b
f x tx dx lím
a
n l
n
f x i tx i x
i1
lím
n l n
f x i x n
tx i x
i1
i1
lím
n l
n
f x i x lím
i1
n l
n
tx i x
i1
y b
f x dx y b
tx dx
a
a
& La propiedad 3 parece intuitivamente razonable
porque si se multiplica una función por
un número positivo c, su gráfica se alarga
o contrae en el sentido vertical un factor de
c. De modo que alarga o contrae cada rectángulo
de aproximación un factor de c y, por
consecuencia, tiene el efecto de multiplicar
el área por c.
La propiedad 3 se puede probar de manera semejante y en ella se expresa que la integral
de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la integral
de la función. En otras palabras, una constante (pero sólo una constante) se puede
llevar hacia afuera de un signo de integral. La propiedad 4 se prueba al escribir f t
f (t) y aplicar las propiedades 2 y 3 con c 1.
EJEMPLO 6 Use las propiedades de las integrales para evaluar 4 3x 2 dx.
y 1
0
SOLUCIÓN Si se aplican las propiedades 2 y 3 de las integrales, se tiene
y 1
0
4 3x 2 dx y 1
4 dx y 1
3x 2 dx y 1
4 dx 3 y 1
x 2 dx
0
0
0
0
Por la propiedad 1, sabe que
y, en el ejemplo 2 de la sección 5.1 encuentra que x 2 dx 1 3. De igual manera,
y 1
0
y 1
4 dx 41 0 4
0
4 3x 2 dx y 1
4 dx 3 y 1
x 2 dx
0
y 1
0
0
4 3 1 3 5
y
En la propiedad que sigue se dice cómo combinar las integrales de la misma función
sobre intervalos adyacentes:
y=ƒ
5.
y c
a
f x dx y b
f x dx y b
f x dx
c
a
0
a
FIGURA 15
c
b
x
Esto no es fácil de probar en general pero, para el caso donde f x 0 y a c b, se
puede ver la propiedad 5 a partir de la interpretación geométrica de la figura 15: el área debajo
de y f(x), desde a hasta c, más el área desde c hasta b es igual al área total desde
a hasta b.