calculo-de-una-variable-1

626 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
SOLUCIÓN Se emplea un dispositivo de graficación para producir las gráficas para los casos
a 2, 1, 0.5, 0.2, 0, 0.5, 1 y 2 mostradas en la figura 17. Observe que todas estas
curvas excepto el caso a 0 tienen dos ramas, y ambas se aproximan a la asíntota vertical
x a cuando x se aproxima a a por la izquierda o la derecha.
a=_2 a=_1 a=_0.5 a=_0.2
a=0
a=0.5
a=1
a=2
FIGURA 17 Miembros de la familia
x=a+cos t, y=a tan t+sen t,
graficados en el rectángulo de visión
4g f_4, por 4g
f_4,
Cuando a 1, ambas ramas son uniformes, pero cuando a llega a 1, la rama derecha
adquiere un punto definido, llamado cúspide. Para a entre 1 y 0 la cúspide se
vuelve un bucle, que se vuelve más grande conforme a se aproxima a 0. Cuando a 0,
ambas ramas se juntan y forman una circunferencia véase el ejemplo 2. Para a entre 0
y 1, la rama izquierda tiene un bucle, que se contrae para volverse una cúspide cuando
a 1. Para a 1, las ramas se alisan de nuevo y, cuando a se incrementa más, se vuelven
menos curvas. Observe que las curvas con a positiva son reflexiones respecto al eje y de
las curvas correspondientes con a negativa.
Estas curvas se llaman concoides de Nicomedes en honor del erudito de la
antigua Grecia, Nicomedes. Las llamó concoides porque la forma de sus ramas externas
se asemeja a la de una concha de un caracol o de un mejillón.
10.1
EJERCICIOS
1–4 Bosqueje la curva por medio de las ecuaciones paramétricas
para trazar puntos. Indique con una flecha la dirección en la que se
traza la curva cuando crece t.
1. x 1 st, y t 2 4t,
0 t 5
2. x 2 cos t, y t cos t,
0 t 2
3. x 5 sen t , y t 2 ,
4. x e t t, y e t t,
2 t 2
5–10
(a) Bosqueje la curva usando las ecuaciones paramétricas para
trazar puntos. Indique con una flecha la dirección en la que
se traza la curva cuando aumenta t.
(b) Elimine el parámetro para hallar la ecuación cartesiana de la
curva.
5. x 3t 5,
y 2t 1
6. x 1 t, y 5 2t,
t
2 t 3
7. x t 2 2, y 5 2t, 3 t 4
8. x 1 3t,
9. x st,
10. x t 2 ,
11–18
(a) Elimine el parámetro para hallar una ecuación cartesiana de la
curva.
(b) Bosqueje la curva e indique con una flecha la dirección en la
que se traza la curva cuando crece el parámetro.
11. x sen , y cos ,
12. x 4 cos , y 5 sen ,
13. x sen t, y csc t,
14. x e t 1, y e 2t
15. x e 2t ,
y 1 t
y t 3
y t 1
16. x ln t, y st,
y 2 t 2
t 1
17. x senh t , y cosh t
0
2
0 t 2
2