calculo-de-una-variable-1

628 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
31. (a) Muestre que las ecuaciones paramétricas
x x 1 x 2 x 1t y y 1 y 2 y 1t
donde 0 t 1, describen el segmento de línea que une
los puntos P 1x 1, y 1 y P 2x 2, y 2.
(b) Encuentre las ecuaciones paramétricas para representar el
segmento de línea de 2, 7 a 3, 1.
; 32. Use un dispositivo de graficación y el resultado del ejercicio
31a para dibujar el triángulo con vértices A1, 1,
B4, 2 y C1, 5.
33. Encuentre las ecuaciones paramétricas para la trayectoria de
una partícula que se mueve a lo largo del círculo
x 2 y 1 2 4 en la manera descrita.
(a) Una vez en el sentido de las manecillas del reloj, empezando
en 2, 1
(b) Tres veces en sentido contrario de las manecillas del reloj,
empezando en 2, 1
(c) La mitad en sentido contrario al de las manecillas del reloj,
empezando en 0, 3
; 34. (a) Encuentre las ecuaciones paramétricas para la elipse x 2 /a 2
y 2 /b 2 1. [Sugerencia: modifique las ecuaciones de un
círculo del ejemplo 2.]
(b) Use estas ecuaciones paramétricas para hacer la gráfica de
la elipse cuando a 3 y b 1, 2, 4 y 8.
(c) ¿Cómo cambia la forma de la elipse cuando varía b?
; 35–36 Use calculadora de gráficas o computadora para reproducir
la figura.
41.
Si a y b son números fijos, encuentre las ecuaciones paramétricas
para la curva que consta de todas las posiciones posibles
del punto P en la figura, usando el ángulo u como parámetro.
Después elimine el parámetro e identifique la curva.
y
42. Si a y b son números fijos, encuentre las ecuaciones paramétricas
de la curva que consta de todas las posiciones posibles del punto
P en la figura, usando el ángulo u como parámetro. El segmento
de línea AB es tangente al círculo más grande.
y
a
a
b
O
b
O
¨
¨
A
P
B
P
x
x
35. y
36.
y
2
0
2
x
37–38 Compare las curvas representadas por las ecuaciones paramétricas.
¿Cómo difieren?
37. (a) x t 3 , y t 2 (b) x t 6 , y t 4
(c) x e 3t , y e 2t
38. (a) x t, y t 2 (b) x cos t, y sec 2 t
(c) x e t , y e 2t
39. Deduzca las ecuaciones 1 para el caso 2 .
40. Sea P un punto a una distancia d del centro de un círculo de radio
r. La curva trazada por P cuando el círculo rueda a lo largo
de una recta se llama trocoide. Considere el movimiento de un
punto sobre el rayo de una rueda de bicicleta. La cicloide es el
caso especial de una trocoide con d r. Si se emplea el mismo
parámetro u que para la cicloide, y si se supone que la línea es el
eje x y u 0 cuando P está en uno de sus puntos mínimos,
muestre que las ecuaciones paramétricas de la trocoide son
x r d sen
y r d cos
Bosqueje la trocoide para los casos d r y d r.
4
2
0
3 8
x
43. Una curva, llamada bruja de María Agnesi, consiste
en todas las posiciones posibles del punto P en la figura. Muestre
que las ecuaciones paramétricas para esta curva se pueden
escribir como
Bosqueje la curva.
x 2a cot
y=2a
y
a
O
y 2a sen 2
44. (a) Encuentre las ecuaciones paramétricas de la curva que
consta de las posiciones posibles del punto P en la figura,
donde OP AB . Bosqueje la curva. Esta curva se
llama cisoide de Diocles en honor al sabio griego Diocles,
quien introdujo la cisoide como un método gráfico para
construir el lado de un cubo cuyo volumen es dos veces el
de un cubo específico.
¨
A
C
P
x