calculo-de-una-variable-1

PRINCIPIOS PARA LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
En el ejemplo siguiente, primero suponga una respuesta revisando los casos especiales y
reconociendo un patrón. A continuación, pruébelo mediante inducción matemática.
Al aplicar el principio de inducción matemática, sigue tres etapas:
ETAPA 1 Se prueba que S n es verdadera cuando n 1.
ETAPA 2 Se supone que S n es verdadera cuando n k y se deduce que S n es verdadera cuando
n k 1.
ETAPA 3
Se concluye, por el principio de inducción matemática, que S n es verdadera para
toda n.
&
&
Analogía: intente un problema
semejante, más sencillo.
Buscar un patrón.
EJEMPLO 3 Si f 0 x xx 1 y f n1 f 0 f n , para n 0, 1, 2, . . ., encuentre una
fórmula para f n (x).
SOLUCIÓN Empiece por hallar fórmulas para f n (x), para los casos especiales n 1, 2 y 3.
f 1 x f 0 f 0 x f 0 f 0 x f 0 x
x
x 1
x
x 1 1
x
2x 1
x
2x 1 1
f 3 x f 0 f 2 x f 0 f 2 x f 0 x
3x 1
x
3x 1
x
3x 1 1
x
x 1
2x 1
x 1
x
2x 1
3x 1
2x 1
x
3x 1
4x 1
3x 1
f 2 x f 0 f 1 x f 0 f 1 x f 0
x
x 1
x
2x 1
2x 1
x
3x 1
x
4x 1
Note un patrón: en los tres casos que se calcularon, el coeficiente de x en el denominador
de f n (x) es n 1. De modo que conjeture que, en general,
4
f n x
x
n 1x 1
Para probar esto, aplique el principio de inducción matemática. Ya ha comprobado que (4)
es verdadera para n 1. Suponga que es verdadera para n k; es decir,
f k x
x
k 1x 1
80