calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 143
; (b) Trace la gráfica de vt si v* 1 ms y g 9.8 ms 2 .
¿Cuánto tiempo transcurre para que la velocidad de la gota
de agua alcance el 99% de su velocidad terminal?
; 60. (a) Mediante el trazo de y e x10 y y 0.1 en una pantalla
común, descubra cuánto tiene que aumentar x de modo que
e x10 0.1.
(b) ¿Puede resolver el inciso (a) sin un aparato graficador?
; 61. Mediante una gráfica determine un número N tal que
si x N entonces
; 62. En el caso del límite
ilustre la definición 7 mediante la determinación de valores de
N que corresponden a e 0.5 y e 0.1.
; 63. Ilustre la definición 8 para el límite
determinando valores de N que corresponden a e 0.5 y
e 0.1.
; 64. Ilustre la definición 9 para el límite
lím
x l
3x 2 1
2x 2 x 1 1.5 0.05
s4x
lím
2 1
2
x l x 1
s4x 2 1
lím
2
x l x 1
2x 1
sx 1
calculando valores de N que corresponden a M 100.
65.
(a) ¿Qué tan grande tenemos que hacer x para que
1x 2 0.0001?
(b) Al hacer r 2 en el Teorema 5, tenemos la proposición
Demuéstrela directamente aplicando la Definición 7.
66. (a) ¿Qué tan grande tenemos que hacer x para que
1sx 0.0001?
(b) Al hacer r 1 2 en el Teorema 5, tenemos la proposición
Demuéstrela directamente aplicando la Definición 7.
1
67. Aplique la Definición 8 para demostrar que lím .
x l x 0
68. Demuestre mediante la Definición 9 que lím x 3 .
x l
69. Mediante la definición 9 demuestre que
lím e x
x l
70. Formule una definición exacta de
Luego aplique su definición para demostrar que
71. Demuestre que
lím
x l
lím
x l
1
x 2 0
1
sx 0
lím f x
x l
lím 1 x 3
x l
lím f x lím f 1t
x l t l 0
y
lím f x lím f 1t
x l t l 0
si existen los límites.
2.7
DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO
El problema de encontrar la recta tangente a una curva y el problema de encontrar la velocidad
de un objeto, involucran encontrar el mismo tipo de límite, como se vio en la sección
2.1. Esta clase especial de límite se denomina derivada y puede ser interpretada como una
razón de cambio en cualquiera de las ciencias o ingeniería.
TANGENTES
Si una curva C tiene la ecuación y fx y quiere hallar la tangente a C en el punto Pa, fa,
entonces considere un punto cercano Qx, fx, donde x a, y calcule la pendiente de la línea
secante PQ:
m PQ
f x f a
x a
En seguida, acerque Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a. Si m PQ
tiende a un número m, entonces defina la tangente t como la recta que pasa por P con