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SECCIÓN 6.1 ÁREAS ENTRE CURVAS |||| 417
Algunas veces es difícil, o hasta imposible, determinar los puntos donde se cortan
exactamente las dos curvas. Como se muestra en el ejemplo siguiente, con la ayuda de
una calculadora para graficar o de una computadora, puede encontrar valores aproximados
de los puntos de intersección, y luego proceder como antes.
EJEMPLO 3 Calcular el área aproximada de la región acotada por las curvas
y xsx 2 1 y y x 4 x.
SOLUCIÓN Si tratara de determinar los puntos de intersección exactos, habría de resolver la
ecuación
x
sx 2 1 x 4 x
_1 2
y=x$-x
FIGURA 7
1.5
x
y=
œ„„„„„ ≈+1
_1
Esta ecuación luce muy difícil como para resolverla de manera exacta (de hecho, es
imposible), de modo que recurra a una calculadora para graficar o a una computadora
para trazar las gráficas de las dos curvas de la figura 7. Un punto de intersección es
el origen. Haga un acercamiento en el otro punto de intersección y halle que x 1.18.
(Si se requiere mayor precisión, se podría aplicar el método de Newton o un buscador de
raíces, si se cuenta con un instrumento para graficar.) En estos terminos, una aproximación
al área entre las curvas es
A y
1.18
0
x
sx 2 1 x 4 x dx
Para integrar el primer término aplique la sustitución u x 2 1. Entonces, du 2xdx,
y cuando x 1.18, u 2.39. Así,
A 1 2 y 2.39 du
1 su y 1.18
x 4 x dx
0
su] 1
2.39
x 5
5 x 2
20
1.18
s2.39 1 1.185
5
0.785
1.182
2
√ (mi/h)
60
50
40
30
20
10
0
FIGURA 8
A
B
2 4 6 8 10 12 14 16 t
(segundos)
EJEMPLO 4 En la figura 8 se ilustran las curvas de velocidad para dos automóviles, A y
B, parten juntos y se desplazan a lo largo de la misma carretera. ¿Qué representa el área
entre las curvas? Aplique la regla del punto medio para estimarla.
SOLUCIÓN De acuerdo con la sección 5.4, el área bajo la curva A de la velocidad
representa la distancia que recorre el vehículo A durante los primeros 16 segundos. En
forma similar, el área bajo la curva B es la distancia que recorre el automóvil B durante
ese tiempo. De este modo, el área entre estas curvas, que es la diferencia de las áreas
bajo las curvas, es la distancia entre los vehículos después de 16 segundos. Tome las
velocidades de la gráfica y conviértalas en pies por segundo 1 mih 5280
3600 piess.
t 0 2 4 6 8 10 12 14 16
v A
v B
v A v B
0 34 54 67 76 84 89 92 95
0 21 34 44 51 56 60 63 65
0 13 20 23 25 28 29 29 30