calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.11 FUNCIONES HIPERBÓLICAS |||| 255
Las gráficas del seno hiperbólico y del coseno hiperbólico se pueden delinear mediante
suma gráfica como en las figuras 1 y 2.
y
y
1
y= ´
2
y=senh x
y=cosh x
y
y=1
0
1
2
–®
x
1
y= e–®
2
1
1
y= ´
2
0 x
y=_1
0
x
FIGURA 1
1 1
y=senhx= ´- e–®
2 2
FIGURA 2
1 1
y=cosh x= ´+ e–®
2 2
FIGURA 3
y=tanh x
FIGURA 4
Catenaria y=c+a cosh(x/a)
d
FIGURA 5
Ola en el mar idealizada
y
0 x
L
Observe que el dominio de senh es y el intervalo es , pero que cosh tiene por dominio
y intervalo 1, . En la figura 3 se muestra la gráfica de tanh. Ésta tiene las
asíntotas horizontales y 1. (Véase ejercicio 23.)
Algunos de los usos matemáticos de las funciones hiperbólicas se tratan en el capítulo 7.
Las aplicaciones en la ciencia y la ingeniería se tienen siempre que una entidad, como
luz, velocidad, electricidad o radiactividad se absorbe o se extingue en forma gradual,
puesto que el decaimiento se puede representar mediante funciones hiperbólicas. La aplicación
más famosa es el uso del coseno hiperbólico para describir la forma de un cable
colgante. Se puede demostrar que si un cable pesado y flexible (como los que se usan
para las líneas telefónicas o eléctricas) se tiende entre dos puntos a la misma altura, entonces
el cable toma la forma de una curva con ecuación y c a coshxa que se denomina
catenaria (véase figura 4). (Esta palabra proviene de la palabra latina catena que
significa “cadena”.)
Otras aplicación de las funciones hiperbólicas suceden en la descripción de los olas
del mar: La velocidad de una ola con longitud L que se traslada através de un cuerpo de
agua con profundidad d se modela por la función
v t L
2p
tanh 2pd
L
donde t es la aceleración debido a la gravedad (véase figura 5 y ejercicio 49.)
Las funciones hiperbólicas satisfacen un número de identidades que son similares a las
muy bien conocidas identidades trigonométricas. A continuación se listan algunas de
ellas y la mayoría de las demostraciones se deja para los ejercicios.
IDENTIDADES HIPERBÓLICAS
senhx senh x
cosh 2 x senh 2 x 1
coshx cosh x
1 tanh 2 x sech 2 x
senhx y senh x cosh y cosh x senh y
coshx y cosh x cosh y senh x senh y