calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 5.1 ÁREAS Y DISTANCIAS |||| 363
Con igual propiedad podría haber usado la velocidad correspondiente al final de cada
periodo, en lugar de la velocidad al principio de los mismos, como la supuesta velocidad
constante. En tal caso las estimaciones quedarían
31 5 35 5 43 5 47 5 46 5 41 5 1 215 pies
Si buscara una estimación más exacta, habría tomado las lecturas de la velocidad cada
dos segundos o cada segundo.
√
40
20
0
10 20
FIGURA 16
30
t
Tal vez los cálculos del ejemplo 4 le recuerden las sumas usadas al principio para estimar
las áreas. La semejanza se explica cuando dibuja una gráfica de la función de velocidad
del automóvil de la figura 16 y dibuja ractángulos cuyas alturas son las velocidaes
iniciales de cada intervalo. El área del primer rectángulo es 25 5 125, lo que también
es su estimación de la distancia recorrida en los primeros cinco segundos. De hecho, el
área de cada rectángulo se puede interpretar como una distancia, porque la altura representa
velocidad y el ancho al tiempo. La suma de las áreas de los rectángulos de la figura 16
es L 6 1 135, lo cual es la estimación inicial de la distancia total recorrida.
En general, suponga que un objeto se mueve con velocidad v f t, en donde
a t b y f t 0 (de modo que el objeto siempre se mueve en la dirección positiva).
Tome las lecturas de la velocidad en los instantes t 0 a, t 1 , t 2 ,..., t n b, de forma que
la velocidad sea aproximadamente constante en cada subintervalo. Si estos instantes están
igualmente espaciados, entonces el tiempo entre lecturas consecutivas es t b an.
Durante el primer intervalo, la velocidad es más o menos f t 0 y, por consiguiente, la distancia
recorrida es alrededor de f t 0 t. De manera análoga, la distancia recorrida durante
el segundo intervalo es alrededor de f t 1 t y la distancia total recorrida durante el intervalo
a, b es poco más o menos
f t 0 t f t 1 t f t n1 t n
i1
f t i1 t
Si usa la velocidad en los puntos extremos de la derecha, en lugar de los puntos extremos
de la izquierda, su estimación para la distancia total se convierte en
f t 1 t f t 2 t f t n t n
i1
f t i t
Entre mayor sea la frecuencia con que se mide la velocidad, más exactas se vuelven las estimaciones,
de modo que parece plausible que la distancia exacta d recorrida sea el límite
de esas expresiones:
5
d lím
n l
n
f t i1 t lím
i1
n l
n
f t i t
i1
En la sección 5.4 verá que, en efecto, esto es verdadero.
En virtud de que la ecuación 5 tiene la misma forma que las expresiones para el área, dadas
en las ecuaciones 2 y 3, se concluye que la distancia recorrida es igual al área debajo de
la gráfica de la función de velocidad. En los capítulos 6 y 8 verá que otras cantidades de interés
en las ciencias naturales y sociales como el trabajo realizado por una fuerza variable
o el gasto cardiaco también pueden interpretarse como el área debajo de la curva. De modo
que cuando calcule áreas en este capítulo, tenga presente que pueden interpretarse de diversas
maneras prácticas.