calculo-de-una-variable-1

APÉNDICE G EL LOGARITMO DEFINIDO COMO UNA INTEGRAL |||| A49
Note que la integral que define ln x es exactamente el tipo de integral que estudió en
la primera parte del teorema fundamental de cálculo (sección 5.3). De hecho, usando ese
teorema
y entonces
2
d 1
dx yx 1 t dt 1 x
d
dx (ln x) 1 x
Ahora use esta regla de derivación para demostrar las siguientes propiedades de la función
logaritmo.
3 LEYES DE LOGARITMOS
racional, entonces
Si x y y son números positivos y r es un número
1. lnxy ln x ln y 2. ln x ln x ln y 3.
y
lnx r r ln x
PRUEBA
1. Sea f (x) ln(ax), donde a es una constante positiva. Entonces, usando la ecuación 2
y la regla de la cadena
fx 1 ax
Por lo tanto, f(x) y ln x tienen la misma derivada y entonces deben diferir por una constante:
lnax ln x C
Poniendo x 1 en esta ecuación, obtiene ln a ln 1 C 0 C C. Entonces
Si ahora sustituye la constante a por cualquier número y
2. Usando la ley 1 con x 1/y, tiene
d
dx ax 1 ax a 1 x
lnax ln x ln a
lnxy ln x ln y
ln 1 y ln y ln 1 y y ln 1 0
y entonces
ln 1 y ln y
Usando de nuevo la ley 1, tiene
ln x y lnx 1 y ln x ln 1 y
ln x ln y
La prueba de la ley 3 se deja como ejercicio.