calculo-de-una-variable-1

658 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
Al igual que las parábolas, las elipses tienen una propiedad de reflexión interesante que
tiene consecuencias prácticas. Si se coloca una fuente de luz o sonido en un foco con secciones
transversales elípticas, entonces toda la luz o sonido se refleja de la superficie al otro
foco véase el ejercicio 63. Este principio se usa en litotripsia, un tratamiento para cálculos
renales. Un reflector con sección transversal elíptica se coloca de tal manera que el cálculo
está en un foco. Ondas sonoras de alta intensidad generadas en el otro foco, se reflejan
hacia el cálculo y lo destruyen sin dañar el tejido circundante. Se ahorra al paciente el traumatismo
de la cirugía y se recupera en pocos días.
HIPÉRBOLAS
FIGURA 11
P
|PF¡|-|PF|=2a
y
P(x, y)
F¡(_c, 0) 0 F(c, 0) x
Una hipérbola es el conjunto de los puntos en un plano y la diferencia de sus distancias
desde dos puntos fijos F 1 y F 2 los focos es una constante. Esta definición se ilustra en la
figura 11.
Las hipérbolas ocurren con frecuencia como gráficas de ecuaciones en química, física,
biología y economía ley de Boyle, ley de Ohm, curvas de oferta y demanda. Una aplicación
particularmente importante de las hipérbolas se encuentra en los sistemas de navegación
desarrollados en las guerras mundiales I y II véase el ejercicio 51.
Observe que la definición de una hipérbola es similar a la de una elipse; el único cambio
es que la suma de las distancias se convirtió en una diferencia de distancias. De hecho,
la deducción de la ecuación de una hipérbola es también similar a la que se dio antes para
una elipse. Se deja como ejercicio 52 demostrar que cuando los focos están sobre el eje x
en c, 0 y la diferencia de distancias es , en seguida la ecuación
de la hipérbola es
6 PF 1 PF 2 2a
x 2
a y 2
2 b 1 2
donde c 2 a 2 b 2 . Observe que las intersecciones con el eje x son de nuevo a y los puntos
a, 0 y a, 0 son los vértices de la hipérbola. Pero si se escribe x 0 en la ecuación
6 se obtiene y 2 b 2 , lo cual es imposible, así que no hay intersección con el eje y.
La hipérbola es simétrica con respecto a ambos ejes.
Para analizar más la hipérbola, se examina la ecuación 6 y se obtiene
(_a, 0)
b
y=_
a
x
FIGURA 12
≈
- ¥ = 1
a@ b@
y
y= x
b
a
(a, 0)
0 x
x 2
a 1 y 2
2 b 1 2
Esto muestra que x 2 a 2 , de modo que x sx 2 a. Por consiguiente, se tiene x a
o x a. Esto significa que la hipérbola consta de dos partes, llamadas ramas.
Cuando se dibuja una hipérbola, es útil dibujar primero sus asíntotas, que son las líneas
discontinuas y bax y y bax mostradas en la figura 12. Ambas ramas de la
hipérbola se aproximan a las asíntotas; es decir, se aproximan de manera arbitraria a las
asíntotas. [Véase el ejercicio 69 en la sección 4.5, donde estas líneas se muestra como
una asíntota inclinada.]
7
La hipérbola
x 2
a 2 y 2
b 2 1
tiene focos c, 0, donde c 2 a 2 b 2 , vértices a, 0 y asíntotas y bax.