calculo-de-una-variable-1

94 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
(f) En esta ocasión los límites por la izquierda y la derecha son los mismos y, de este
modo, con base en (3)
lím tx 2
x l 5
A pesar de este hecho, observe que t5 2.
LÍMITES INFINITOS
x
1
x 2
1 1
0.5 4
0.2 25
0.1 100
0.05 400
0.01 10 000
0.001 1 000 000
y
EJEMPLO 8 Halle
lím
x l 0
1
x 2
si existe.
SOLUCIÓN Conforme x se aproxima a 0, x 2 también se aproxima a 0 y 1x 2 se hace muy
grande. (Vea la tabla en el margen.) De hecho, al ver la gráfica de la función fx 1x 2
que se muestra en la figura 11, parece que los valores de fx se pueden aumentar en forma
arbitraria, si se escoge una x lo suficientemente cerca de 0. De este modo los valores de
fx no tienden a un número, de tal manera que lím xl 0 1x 2 no existe.
Para indicar la clase de comportamiento que se muestra en el ejemplo 8, utilice la
notación
lím
x l 0
1
x 2 ∞
| Esto no quiere decir que se considere ∞ como un número. Ni siquiera significa que el límite
existe. Simplemente expresa la manera particular en la cual el límite no existe: 1/x 2
puede ser tan grande como guste llevando a x lo suficientemente cerca de 0.
En general, se escribe simbólicamente
y= 1 ≈
lím f x ∞
x l a
0
x
para indicar que los valores de fx se vuelven más y más grandes, es decir (se “incrementan
sin límite”) a medida que x se acerca más y más a a.
FIGURA 11
4 DEFINICIÓN Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente
en a; entonces
lím f x ∞
x l a
significa que los valores de fx se pueden hacer arbitrariamente grandes (tan
grandes como uno quiera) haciendo que x se acerque suficientemente a a, pero
no es igual que a.
y
y=ƒ
Otra notación para lím xl a fx es
fx l cuando x l a
Recuerde que el símbolo ∞ no es un número, pero la expresión lím xl a fx se lee
con frecuencia como
0
a
x=a
x
“el límite de fx cuando x tiende a a es el infinito”
o bien, “fx se vuelve infinita cuando x se aproxima a a”
FIGURA 12
lím ƒ=`
x
a
o bien, “fx se incrementa sin límite cuando x tiende a a”
Esta definición se ilustra en la figura 12.