calculo-de-una-variable-1

650 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
10.4
ÁREAS Y LONGITUDES EN COORDENADAS POLARES
En esta sección se desarrolla la fórmula para el área de una región cuyo límite está dado
por una ecuación polar. Se necesita usar la fórmula para el área de un sector de un círculo
r
1
A 1 2r 2
¨
FIGURA 1
¨=b
b
O
a
r=f(¨)
¨=a
donde, como en la figura 1, r es el radio y u es la medida en radianes del ángulo central. La
fórmula 1 se deduce del hecho de que el área de un sector es proporcional a su ángulo central:
A 2r 2 1 2r 2 . (Véase también el ejercicio 35 en la sección 7.3.)
Sea la región, ilustrada en la figura 2, acotada por la curva polar r f y por los
rayos a y b, donde f es una función continua positiva y donde 0 b a 2.
Se divide el intervalo [a, b] en subintervalos con puntos finales 0 , 1 , 2 ,..., n e igual
amplitud . Estos rayos i dividen a en regiones más pequeñas con ángulo
central i i1 . Si se elige i* en el i-ésimo subintervalo [ i1 , i ], entonces el área
A i de la i-ésima región se aproxima mediante el área del sector de un círculo con ángulo
central y radio f i*. (Véase fig. 3.)
Así, de la fórmula 1 se tiene
A i 1 2 f i* 2
FIGURA 2
y, de este modo, una aproximación al área total A de es
f(¨i*)
¨=¨i
¨=¨i-1
2
A n
i1
1
2 f i* 2
¨=b
Ψ
¨=a
Se ve de la figura 3 que la aproximación en (2) mejora cuando n l . Pero las sumas en
(2) son sumas de Riemann para la función t 1 2 f 2 , por eso,
O
FIGURA 3
lím
n l n
i1
1
2 f i* 2 y b 1
2 f 2 d
Parece plausible y de hecho se puede demostrar que la fórmula para el área A de la región
polar es
a
3
A y b 1
2 f 2 d
a
La fórmula 3 con frecuencia se expresa como
4
A y b 1
2r 2 d
a
con el conocimiento de que r f . Note la similitud entre las fórmulas 1 y 4.
Cuando se aplica la fórmula 3 o 4, es útil considerar que el área es barrida por un rayo
rotatorio a través de O que empieza con ángulo a y termina con ángulo b.
V EJEMPLO 1 Determine el área encerrada por un bucle de la rosa de cuatro hojas
r cos 2.
SOLUCIÓN La curva r cos 2 se bosquejó en el ejemplo 8 de la sección 10.3. Observe en
la figura 4 que la región encerrada por el bucle derecho es barrida por un rayo que gira de
4 a 4. Por lo tanto, la fórmula 4 da