calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 61
y
y=≈
V EJEMPLO 2 ¿La función tx x 2 es uno a uno?
SOLUCIÓN 1 Esta función no es uno a uno porque, por ejemplo,
t1 1 t1
0
FIGURA 4
©=≈ no es uno a uno
x
y de este modo 1 y 1 tienen la misma salida.
SOLUCIÓN 2 En la figura 4 existen líneas horizontales que intersecan la gráfica de t más
de una vez. Por consiguiente, mediante la prueba de la línea horizontal, t no es uno
a uno
Las funciones uno a uno son importantes porque son precisamente las funciones que
poseen funciones inversas según la siguiente definición
2 DEFINICIÓN Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces
su función inversa f 1 tiene dominio B y rango A y se define mediante
f 1 y x
&?
f x y
para cualquier y en B.
A
f
x
f–!
Esta definición dice que si f mapea x en y, después f 1 mapea y de regreso hacia x.
(Si f no fuera uno a uno, entonces f 1 no estaría definida en forma única.) El diagrama
de flechas de la figura 5 indica que f 1 invierte el efecto de f. Observe que
B
FIGURA 5
y
dominio de f 1 rango de f
rango f 1 dominio de f
Por ejemplo, la función inversa de f x x 3 es f 1 x x 13 porque si y x 3 , en
tal caso
f 1 y f 1 x 3 x 3 13 x
| PRECAUCIÓN No confundir el 1 en f 1 con un exponente. Así
f 1 x
no significa
1
f x
El recíproco 1f x podría, no obstante, escribirse como f x 1 .
V EJEMPLO 3 Si f 1 5, f 3 7 y f 8 10, encuentre f 1 7, f 1 5 y
f 1 10.
SOLUCIÓN De la definición de f 1
f 1 7 3
f 1 5 1
f 1 10 8
porque
porque
porque
f 3 7
f 1 5
f 8 10