calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 4.6 TRAZADO DE GRÁFICAS CON CÁLCULO Y CALCULADORAS |||| 319
Con el acercamiento y la prueba de la primera derivada, resultan los valores aproximados
siguientes hasta una cifra decimal.
1.2
f
0 π
f·
_1.2
FIGURA 17
1.2
Intervalos de crecimiento: 0, 0.6, 1.0, 1.6, 2.1, 2.5
Intervalos de decrecimiento: 0.6, 1.0, 1.6, 2.1, 2.5, p
Valores máximos locales: f0.6 1, f1.6 1, f2.5 1
Valores mínimos locales: f1.0 0.94, f2.1 0.94
La segunda derivada es
f x 1 2 cos 2x 2 senx sen 2x 4 sen 2x cosx sen 2x
Si dibuja f y f en la figura 17, obtiene los valores aproximados siguientes:
Cóncava hacia arriba sobre: 0.8, 1.3, 1.8, 2.3
Cóncava hacia abajo sobre: 0, 0.8, 1.3, 1.8, 2.3,
Puntos de inflexión: 0, 0, 0.8, 0.97, 1.3, 0.97, 1.8, 0.97, 2.3, 0.97
_2π
FIGURA 18
_1.2
2π
Luego de comprobar que la figura 15 representa f con exactitud en 0 x ,
puede decir que la gráfica extendida de la figura 18 representa f con exactitud en
2 x 2
.
El ejemplo final se relaciona con las familias de funciones. De acuerdo con la sección 1.4,
esto quiere decir que las funciones de la familia se relacionan entre sí mediante una fórmula
que contiene una o más constantes arbitrarias. Cada valor de la constante impulsa a
un miembro de la familia, y la idea es ver cómo la gráfica de la función cambia cuando
la constante se modifica.
2
V
EJEMPLO 5 ¿Cómo varía la gráfica de f x 1x 2 2x c al cambiar c?
_5 4
1
y=
≈+2x+2
FIGURA 19
c=2
_2
SOLUCIÓN Las gráficas de las figuras 19 y 20 (los casos especiales c 2 y c 2) muestran
dos curvas muy distintas. Antes de dibujar más gráficas, vea qué tienen en común los
miembros de esta familia. Puesto que
lím
x l
1
x 2 2x c 0
para cualquier valor c, todos tienen el eje x como asíntota horizontal. Se tendrá una asíntota
vertical cuando x 2 2x c 0. Si se resuelve esta ecuación cuadrática, se obtiene
x 1 s1 c. Cuando c 1, no hay asíntota vertical (como en la figura 19). Cuando
c 1, la gráfica tiene una sola asíntota vertical x 1 porque
2
y= 1
≈+2x-2
lím
x l1
1
x 2 2x 1 lím
x l1
1
x 1 2
_5 4
FIGURA 20
c=_2
_2
Cuando c 1, se tienen dos asíntotas verticales: x 1 s1 c (como en la figura
20).
Ahora, calcule la derivada:
2x 2
f x
x 2 2x c 2
Esto hace ver que f(x) 0 cuando x 1 (si c 1), f x 0 cuando x 1, y
f x 0 cuando x 1. Para c 1, esto significa que f crece sobre , 1 y decre-