calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 8.3 APLICACIONES A LA FÍSICA Y A LA INGENIERÍA |||| 539
1. Muestre que el área de es
1
y q
f x mx b1 mfx dx
1 m 2 p
[Sugerencia: Esta fórmula se puede comprobar restando áreas, pero será útil en el proyecto
derivarla aproximando primero el área por medio de rectángulos perpendiculares a la línea,
como se muestra en la figura. Use la figura para ayudar a expresar u en términos de x.]
tangente de C
a {x i , f(x i )}
?
?
y=mx+b
Îu
å
x i
∫
Îx
y
y=x+sen x
(2π, 2π)
y=x-2
2. Determine el área de la región mostrada en la figura a la izquierda.
3. Encuentre una fórmula similar a la del problema 1 para el volumen del sólido obtenido al hacer
girar respecto a la recta y mx b.
4. Encuentre el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región del problema 2
respecto a la recta y x 2.
0
x
5. Obtenga una fórmula para el área de la superficie obtenida al hacer girar C respecto a la recta
y mx b.
CAS
6. Use un sistema algebraico computacional para hallar el área exacta de la superficie obtenida
al hacer girar la curva y sx, 0 x 4, respecto a la recta y 1 2 x. Luego aproxime su
resultado a tres decimales.
8.3
APLICACIONES A LA FÍSICA Y A LA INGENIERÍA
Entre las muchas aplicaciones del cálculo integral a la física y a la ingeniería, se consideran
dos aquí: la fuerza debida a la presión del agua y los centros de masa. Como con las
aplicaciones previas a la geometría (áreas, volúmenes y longitudes) y el trabajo, la estrategia
es descomponer la cantidad física en un gran número de partes pequeñas, aproximar
cada parte pequeña, sumar los resultados, tomar el límite y después evaluar la integral resultante.
FUERZA Y PRESIÓN HIDROSTÁTICA
superficie del fluido
Los buceadores de aguas profundas comprenden que la presión del agua se incrementa a
medida que bucean cada vez más profundo. Esto se debe a que se incrementa el peso del
agua sobre ellos.
En general, suponga que una placa horizontal delgada con área A metros cuadrados se sumerge
en un fluido de densidad kilogramos por metro cúbico a una profundidad d metros
debajo de la superficie del fluido como en la figura 1. El fluido directamente arriba de la
placa tiene volumen V Ad, de modo que su masa es m V Ad. Así, la fuerza que
ejerce la placa sobre el fluido es
FIGURA 1
F mt tAd