calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
1. Encuentre las funciones f tales que f es continua y
[ f x] 2 100 y x
[ f t] 2 [ f t] 2 dt
0
para toda x real
2. Un alumno olvidó la regla del producto para derivación y cometió el error de pensar que
ft f t. Sin embargo, tuvo suerte y obtuvo la respuesta correcta. La función f que usó fue
f x e x 2
y el dominio de este problema fue el intervalo . ¿Cuál fue la función t?
( 1 2, )
3. Sea f una función con la propiedad de que f 0 1, f 0 1, y f a b f af b para
los números reales a y b. Muestre que f x f x para toda x y deduzca que f x e x .
4. Encuentre todas las funciones f que satisfacen la ecuación
y f x dxy
1
f x dx 1
5. Hallar la curva y f x de tal manera que fx 0, f0 0, f1 1 y el área bajo la gráfica
de f desde 0 hasta x es proporcional a la n 1-ésima potencia de f x.
6. Una subtangente es una porción del eje x que se encuentra directamente bajo el segmento de una
línea tangente desde el punto de contacto hasta el eje x. Hallar las curvas que pasan a través del
punto (c, 1) y cuyas subtangentes todas tienen longitud c.
7. Se saca del horno un pastel de durazno a las 5:00 P.M. En ese momento está muy caliente:
100°C. A las 5:10 P.M., su temperatura es 80°C; a las 5:20 P.M. está a 65°C. ¿Cuál es la
temperatura en la habitación?
8. Durante la mañana del 2 de febrero comenzó a caer nieve y continuó de forma permanente
hacia la tarde. A mediodía, una máquina comenzó a retirar la nieve de una carretera con
rapidez constante. La máquina viajó 6 km desde el mediodía hasta la 1 P.M. pero sólo 3
km de la 1 P.M. a las 2 P.M. ¿Cuándo comenzó a caer la nieve? [Sugerencia: para comenzar,
sea t el tiempo medido en horas después del mediodía; sea xt la distancia que recorre la
máquina en el tiempo t; después la rapidez de la máquina es dxdt. Sea b el número de
horas antes del mediodía en que comenzó a nevar. Determine una expresión para la altura
de la nieve en el tiempo t. Después use la información dada de que la tasa de remoción
R (en m 3 h) es constante.]
y
(x, y)
0
(L, 0) x
FIGURA PARA EL PROBLEMA 9
9. Un perro ve un conejo que corre en línea recta en un campo abierto y lo persigue. En un sistema
coordenado rectangular (como el mostrado en la figura), suponga:
(i) El conejo está en el origen y el perro en el punto L, 0 en el instante en que el perro
ve por vez primera al conejo.
(ii) El conejo corre en la dirección positiva del eje y, y el perro siempre directo hacia el
conejo.
(iii) El perro corre con la misma rapidez que el conejo.
(a) Muestre que la trayectoria del perro es la gráfica de la función y f x, donde y satisface
la ecuación diferencial
x d 2 y
dx 1
dx
dy 2
2
(b) Determine la solución de la ecuación del inciso (a) que satisface las condiciones iniciales
y y 0 cuando x L. [Sugerencia: sea z dydx en la ecuación diferencial y
resuelva la ecuación de primer orden resultante para hallar z; después integre z para
hallar y.]
(c) ¿Alguna vez el perro alcanza al conejo?
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