calculo-de-una-variable-1

710 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
11.5
SERIES ALTERNANTES
Las pruebas de convergencia que se han examinado hasta este momento se aplican sólo a
series con términos positivos. En esta sección y en la siguiente, se estudia cómo tratar a series
cuyos términos no son necesariamente positivos. De particular importancia son las
series alternantes, cuyos términos se alternan en signo.
Una serie alternante es una serie cuyos términos son alternadamente positivos y negativos.
Aquí hay dos ejemplos:
1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
De acuerdo con los ejemplos, el n-ésimo término de una serie alternante es de la forma
n1
n1
1 n1
n
1 n
n
n 1
a n 1 n1 b n o bien, a n 1 n b n
donde b n es un número positivo. (En efecto, b n a n .)
La prueba siguiente establece que si los términos de una serie alternante decrecen hacia
0 en valor absoluto, en este caso la serie converge.
PRUEBA DE LA SERIE ALTERNANTE
Si la serie alternante
1 n1 b n b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6
n1
b n 0
cumple con
(i) b n1 b n para toda n
(ii) lím n 0
n l
entonces la serie es convergente.
Antes de proporcionar la demostración vea la figura 1, la cual es una representación de
la idea en la que se apoya la demostración. Primero dibuje s 1 b 1 en una recta numérica.
Para determinar s 2 reste b 2, de modo que s 2 está a la izquierda de s 1. Luego, para determinar
s 3 sume b 3, de modo que s 3 está a la derecha de s 2. Pero como b 3 b 2, s 3 está a la
izquierda de s 1. Al continuar de esta manera, se observa que las sumas parciales oscilan
hacia un lado y hacia el otro. Puesto que b n l 0, los pasos siguientes se vuelven más y
más pequeños. Las sumas parciales pares s 2, s 4, s 6,... se incrementan, y decrecen las
sumas parciales impares s 1, s 3, s 5,... En estos términos, es posible que ambas converjan
en el mismo número s, el cual es la suma de la serie. Por consiguiente, en la demostración
siguiente se consideran por separado las sumas parciales pares e impares.
b¡
-b
+b£
-b¢
+b∞
-bß
FIGURA 1
0 s s¢ sß s s∞ s£ s¡